---

Step * 2 of Lemma fps-elim-hom


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. FunThru2op(PowerSeries(X;r);PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);λf,g. (f+g);fps-elim(x))
7. a1 : PowerSeries(X;r)
8. a2 : PowerSeries(X;r)
9. b : bag(X)
10. ¬x ↓∈ b
⊢ Σ(p∈bag-partitions(eq;b)). * (a1 (fst(p))) (a2 (snd(p)))
= Σ(p∈bag-partitions(eq;b)). * if bag-deq-member(eq;x;fst(p)) then 0 else a1 (fst(p)) fi  
                             if bag-deq-member(eq;x;snd(p)) then 0 else a2 (snd(p)) fi 
∈ |r|
BY
{ xxx(BLemma `bag-summation-equal` THEN Auto)xxx }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. FunThru2op(PowerSeries(X;r);PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);λf,g. (f+g);fps-elim(x))
7. a1 : PowerSeries(X;r)
8. a2 : PowerSeries(X;r)
9. b : bag(X)
10. ¬x ↓∈ b
11. p : bag(X) × bag(X)
12. p ↓∈ bag-partitions(eq;b)
⊢ (* (a1 (fst(p))) (a2 (snd(p))))
= (* if bag-deq-member(eq;x;fst(p)) then 0 else a1 (fst(p)) fi  
   if bag-deq-member(eq;x;snd(p)) then 0 else a2 (snd(p)) fi )
∈ |r|

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. FunThru2op(PowerSeries(X;r);PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);λf,g. (f+g);fps-elim(x))
7. a1 : PowerSeries(X;r)
8. a2 : PowerSeries(X;r)
9. b : bag(X)
10. ¬x ↓∈ b
11. ∀p:bag(X) × bag(X)
      (p ↓∈ bag-partitions(eq;b)
      ⇒ ((* (a1 (fst(p))) (a2 (snd(p))))
         = (* if bag-deq-member(eq;x;fst(p)) then 0 else a1 (fst(p)) fi  
            if bag-deq-member(eq;x;snd(p)) then 0 else a2 (snd(p)) fi )
         ∈ |r|))
⊢ IsMonoid(|r|;+r;0)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  x  :  X
6.  FunThru2op(PowerSeries(X;r);PowerSeries(X;r);\mlambda{}f,g.  (f+g);\mlambda{}f,g.  (f+g);fps-elim(x))
7.  a1  :  PowerSeries(X;r)
8.  a2  :  PowerSeries(X;r)
9.  b  :  bag(X)
10.  \mneg{}x  \mdownarrow{}\mmember{}  b
\mvdash{}  \mSigma{}(p\mmember{}bag-partitions(eq;b)).  *  (a1  (fst(p)))  (a2  (snd(p)))
=  \mSigma{}(p\mmember{}bag-partitions(eq;b)).  *  if  bag-deq-member(eq;x;fst(p))  then  0  else  a1  (fst(p))  fi   
                                                          if  bag-deq-member(eq;x;snd(p))  then  0  else  a2  (snd(p))  fi 


By

---

Latex:
xxx(BLemma  `bag-summation-equal`  THEN  Auto)xxx

---

Home Index