---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma extend-half-cube-face


1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. 0 < dim(c)
8. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
9. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
10. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
11. i : ℕk
12. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
13. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
14. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
15. ((fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ) ∧ ((snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ)
⊢ ((∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ (∀i:ℕk. d i ≤ c i)))
∧ (∀b':ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;b';c)) ⇒ (∀i:ℕk. a i ≤ b' i) ⇒ (b' = b ∈ ℚCube(k)))))
∨ ((∃!b':ℚCube(k). ((∀i:ℕk. a i ≤ b' i) ∧ (↑is-half-cube(k;b';c)) ∧ (¬(b' = b ∈ ℚCube(k)))))
  ∧ has-interior-point(k;a;c))
BY
{ Thin 7 }

1
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. ((fst((b i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ) ∧ ((snd((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ)
⊢ ((∃!d:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;a;d)) ∧ (∀i:ℕk. d i ≤ c i)))
∧ (∀b':ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;b';c)) ⇒ (∀i:ℕk. a i ≤ b' i) ⇒ (b' = b ∈ ℚCube(k)))))
∨ ((∃!b':ℚCube(k). ((∀i:ℕk. a i ≤ b' i) ∧ (↑is-half-cube(k;b';c)) ∧ (¬(b' = b ∈ ℚCube(k)))))
  ∧ has-interior-point(k;a;c))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  b  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(a  i))
6.  0  <  dim(b)
7.  0  <  dim(c)
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b  i
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}is-half-interval(b  i;c  i))
10.  dim(a)  =  (dim(b)  -  1)
11.  i  :  \mBbbN{}k
12.  dim(c  i)  =  1
13.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((a  j)  =  (b  j)))
14.  (a  i)  =  [fst((b  i))]
15.  ((fst((b  i)))  =  (fst((c  i))))  \mwedge{}  ((snd((b  i)))  =  qavg(fst((c  i));snd((c  i))))
\mvdash{}  ((\mexists{}!d:\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;a;d))  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  d  i  \mleq{}  c  i)))
\mwedge{}  (\mforall{}b':\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;b';c))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b'  i)  {}\mRightarrow{}  (b'  =  b))))
\mvee{}  ((\mexists{}!b':\mBbbQ{}Cube(k).  ((\mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b'  i)  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-cube(k;b';c))  \mwedge{}  (\mneg{}(b'  =  b))))
    \mwedge{}  has-interior-point(k;a;c))


By

---

Latex:
Thin  7

---

Home Index