Step
*
1
1
1
1
3
1
1
of Lemma
extend-half-cube-face
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) 
⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = (snd((c i))) ∈ ℚ
⊢ ∃!b':ℚCube(k). ((∀i:ℕk. a i ≤ b' i) ∧ (↑is-half-cube(k;b';c)) ∧ (¬(b' = b ∈ ℚCube(k))))
BY
{ ((Assert λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi  ∈ ℚCube(k) BY
          (Unfold `rational-cube` 0 THEN Auto))
   THEN D 0 With ⌜λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ⌝ 
   THEN Auto
   THEN Reduce 0) }
1
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) 
⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = (snd((c i))) ∈ ℚ
16. λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi  ∈ ℚCube(k)
17. i@0 : ℕk
⊢ a i@0 ≤ if (i@0 =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b i@0 fi 
2
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) 
⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = (snd((c i))) ∈ ℚ
16. λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi  ∈ ℚCube(k)
17. ∀i@0:ℕk. a i@0 ≤ (λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ) i@0
⊢ ↑is-half-cube(k;λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi c)
3
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) 
⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = (snd((c i))) ∈ ℚ
16. λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi  ∈ ℚCube(k)
17. ∀i@0:ℕk. a i@0 ≤ (λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ) i@0
18. ↑is-half-cube(k;λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi c)
⊢ ¬((λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ) = b ∈ ℚCube(k))
4
1. k : ℕ
2. a : ℚCube(k)
3. b : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(a i))
6. 0 < dim(b)
7. ∀i:ℕk. a i ≤ b i
8. ∀i:ℕk. (↑is-half-interval(b i;c i))
9. dim(a) = (dim(b) - 1) ∈ ℤ
10. i : ℕk
11. dim(c i) = 1 ∈ ℤ
12. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) 
⇒ ((a j) = (b j) ∈ ℚInterval))
13. (a i) = [fst((b i))] ∈ ℚInterval
14. (fst((b i))) = qavg(fst((c i));snd((c i))) ∈ ℚ
15. (snd((b i))) = (snd((c i))) ∈ ℚ
16. λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi  ∈ ℚCube(k)
17. ∀i@0:ℕk. a i@0 ≤ (λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ) i@0
18. ↑is-half-cube(k;λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi c)
19. ¬((λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ) = b ∈ ℚCube(k))
20. y : ℚCube(k)
21. ∀i:ℕk. a i ≤ y i
22. ↑is-half-cube(k;y;c)
23. ¬(y = b ∈ ℚCube(k))
⊢ y = (λj.if (j =z i) then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))> else b j fi ) ∈ ℚCube(k)
Latex:
Latex:
1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  b  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(a  i))
6.  0  <  dim(b)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b  i
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}is-half-interval(b  i;c  i))
9.  dim(a)  =  (dim(b)  -  1)
10.  i  :  \mBbbN{}k
11.  dim(c  i)  =  1
12.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((a  j)  =  (b  j)))
13.  (a  i)  =  [fst((b  i))]
14.  (fst((b  i)))  =  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))
15.  (snd((b  i)))  =  (snd((c  i)))
\mvdash{}  \mexists{}!b':\mBbbQ{}Cube(k).  ((\mforall{}i:\mBbbN{}k.  a  i  \mleq{}  b'  i)  \mwedge{}  (\muparrow{}is-half-cube(k;b';c))  \mwedge{}  (\mneg{}(b'  =  b)))
By
Latex:
((Assert  \mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  <fst((c  i)),  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))>  else  b  j  fi    \mmember{}  \mBbbQ{}Cube(k)  BY
                (Unfold  `rational-cube`  0  THEN  Auto))
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  <fst((c  i)),  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))>  else  b  j  fi  \mkleeneclose{} 
  THEN  Auto
  THEN  Reduce  0)
Home
Index