---

Step * 1 2 1 1 1 1 of Lemma qlog-lemma


1. e : ℚ
2. 0 < e
3. q : ℚ
4. e ≤ q
5. q < 1
6. n : ℕ
7. ∀[m:ℕn]
     ∀k:ℕ+. ∀r:{r:ℚ| (e ≤ r) ∧ (r = q ↑ k ∈ ℚ) ∧ q ↑ m * r < e} .
       {nz:ℕ × ℚ| let n,z = nz in (z = q ↑ n ∈ ℚ) ∧ (e ≤ z) ∧ z * z < e} 
8. k : ℕ+
9. r : ℚ
10. e ≤ r
11. r = q ↑ k ∈ ℚ
12. q ↑ n * r < e
13. m : ℤ
14. m = (2 * k) ∈ ℤ
15. rr : ℚ
16. rr = (r * r) ∈ ℚ
17. e ≤ rr
18. ¬(0 ≤ (n - k))
19. r ≤ q ↑ n supposing (r * r) ≤ (r * q ↑ n)
⊢ r ≤ q ↑ n
BY
{ ((SubstFor ⌜r⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN Subst' k ~ n + (k - n) 0
   THEN Auto
   THEN RWO "qexp-add" 0
   THEN Auto'
   THEN InstLemma `qmul_preserves_qle` [⌜q ↑ k - n⌝;⌜1⌝;⌜q ↑ n⌝]⋅
   THEN Auto
   THEN Auto'
   THEN Try ((BLemma `qexp-positive` THEN Auto THEN Auto)))⋅ }

1
1. e : ℚ
2. 0 < e
3. q : ℚ
4. e ≤ q
5. q < 1
6. n : ℕ
7. ∀[m:ℕn]
     ∀k:ℕ+. ∀r:{r:ℚ| (e ≤ r) ∧ (r = q ↑ k ∈ ℚ) ∧ q ↑ m * r < e} .
       {nz:ℕ × ℚ| let n,z = nz in (z = q ↑ n ∈ ℚ) ∧ (e ≤ z) ∧ z * z < e} 
8. k : ℕ+
9. r : ℚ
10. e ≤ r
11. r = q ↑ k ∈ ℚ
12. q ↑ n * r < e
13. m : ℤ
14. m = (2 * k) ∈ ℤ
15. rr : ℚ
16. rr = (r * r) ∈ ℚ
17. e ≤ rr
18. ¬(0 ≤ (n - k))
19. r ≤ q ↑ n supposing (r * r) ≤ (r * q ↑ n)
20. (q ↑ n * q ↑ k - n) ≤ (q ↑ n * 1) supposing q ↑ k - n ≤ 1
21. q ↑ k - n ≤ 1 supposing (q ↑ n * q ↑ k - n) ≤ (q ↑ n * 1)
⊢ (q ↑ n * q ↑ k - n) ≤ q ↑ n

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  \mBbbQ{}
2.  0  <  e
3.  q  :  \mBbbQ{}
4.  e  \mleq{}  q
5.  q  <  1
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}[m:\mBbbN{}n]
          \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}r:\{r:\mBbbQ{}|  (e  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  =  q  \muparrow{}  k)  \mwedge{}  q  \muparrow{}  m  *  r  <  e\}  .
              \{nz:\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbQ{}|  let  n,z  =  nz  in  (z  =  q  \muparrow{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  z)  \mwedge{}  z  *  z  <  e\} 
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  r  :  \mBbbQ{}
10.  e  \mleq{}  r
11.  r  =  q  \muparrow{}  k
12.  q  \muparrow{}  n  *  r  <  e
13.  m  :  \mBbbZ{}
14.  m  =  (2  *  k)
15.  rr  :  \mBbbQ{}
16.  rr  =  (r  *  r)
17.  e  \mleq{}  rr
18.  \mneg{}(0  \mleq{}  (n  -  k))
19.  r  \mleq{}  q  \muparrow{}  n  supposing  (r  *  r)  \mleq{}  (r  *  q  \muparrow{}  n)
\mvdash{}  r  \mleq{}  q  \muparrow{}  n


By

---

Latex:
((SubstFor  \mkleeneopen{}r\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Subst'  k  \msim{}  n  +  (k  -  n)  0
  THEN  Auto
  THEN  RWO  "qexp-add"  0
  THEN  Auto'
  THEN  InstLemma  `qmul\_preserves\_qle`  [\mkleeneopen{}q  \muparrow{}  k  -  n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q  \muparrow{}  n\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  Auto'
  THEN  Try  ((BLemma  `qexp-positive`  THEN  Auto  THEN  Auto)))\mcdot{}

---

Home Index