---

Step * 1 2 3 2 1 2 2 of Lemma qroot


1. b : ℕ+
2. k : {2...}
3. s : 𝔹
4. p : ℤ
5. c : ℕ+
6. n : ℕ+
7. q : ℤ
8. 0 < q
9. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
10. ¬↑qeq(q;0)
11. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
12. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
13. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * b^(k - 1) else b^(k - 1) fi  - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi | * y^k < (x * b)^k
22. (x * b)^k ≤ ((|if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi | + d) * y^k)
23. (0 ≤ (p/q)) ⇒ (0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y))
24. (0 ≤ (p/q)) ⇐ 0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y)
25. |if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi |
= if p <z 0 then -if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi 
  if s then p * 2 * b^(k - 1)
  else p * n * b^(k - 1)
  fi 
∈ ℤ
26. ¬↑s
⊢ (b^k * (p/q)) = (b^(k - 1) * n * p) ∈ ℚ
BY
{ (QMul ⌜q⌝ 0⋅ THEN Auto THEN (RWW "qmul-mul" 0 THEN Auto)⋅)⋅ }

1
1. b : ℕ+
2. k : {2...}
3. s : 𝔹
4. p : ℤ
5. c : ℕ+
6. n : ℕ+
7. q : ℤ
8. 0 < q
9. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
10. ¬↑qeq(q;0)
11. (0 ≤ (p/q)) ∨ (↑isOdd(k))
12. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
13. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi  ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (if s then 2 * b^(k - 1) else b^(k - 1) fi  - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi | * y^k < (x * b)^k
22. (x * b)^k ≤ ((|if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi | + d) * y^k)
23. (0 ≤ (p/q)) ⇒ (0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y))
24. (0 ≤ (p/q)) ⇐ 0 ≤ (if p <z 0 then -x else x fi /y)
25. |if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi |
= if p <z 0 then -if s then p * 2 * b^(k - 1) else p * n * b^(k - 1) fi 
  if s then p * 2 * b^(k - 1)
  else p * n * b^(k - 1)
  fi 
∈ ℤ
26. ¬↑s
27. ℤ ∈ Type
⊢ (b^k * p) = (b^(k - 1) * n * p * q) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  k  :  \{2...\}
3.  s  :  \mBbbB{}
4.  p  :  \mBbbZ{}
5.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  q  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  q
9.  \mneg{}(q  =  0)
10.  \mneg{}\muparrow{}qeq(q;0)
11.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
12.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
13.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
14.  c  =  b\^{}(k  -  1)
15.  a  :  \mBbbZ{}
16.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi 
17.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  d  =  (if  s  then  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  b\^{}(k  -  1)  fi    -  1)
19.  x  :  \mBbbN{}
20.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}
21.  |if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi  |  *  y\^{}k  <  (x  *  b)\^{}k
22.  (x  *  b)\^{}k  \mleq{}  ((|if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi  |  +  d)  *  y\^{}k)
23.  (0  \mleq{}  (p/q))  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  (if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  /y))
24.  (0  \mleq{}  (p/q))  \mLeftarrow{}{}  0  \mleq{}  (if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  /y)
25.  |if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi  |
=  if  p  <z  0  then  -if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)  else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)  fi 
    if  s  then  p  *  2  *  b\^{}(k  -  1)
    else  p  *  n  *  b\^{}(k  -  1)
    fi 
26.  \mneg{}\muparrow{}s
\mvdash{}  (b\^{}k  *  (p/q))  =  (b\^{}(k  -  1)  *  n  *  p)


By

---

Latex:
(QMul  \mkleeneopen{}q\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  (RWW  "qmul-mul"  0  THEN  Auto)\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index