---

Step * 1 1 1 1 of Lemma square-between


1. a : ℤ
2. b : ℕ+
3. c : ℤ
4. d : ℕ+
5. 0 ≤ a
6. a * d < c * b
7. 0 < b * d ∧ (0 ≤ (a * d)) ∧ (0 ≤ ((a * d) * b * d))
⊢ ∃r:ℚ [(<a, b> < r * r < <c, d> ∧ 0 < r)]
BY
{ With ⌜let x = (a * d) * b * d in
         let N = isqrt((4 * x) + 2) + 1 in
         let r = isqrt((N * N) * x) in
         (r + 1/N * b * d)⌝ (D 0)⋅ }

1
.....wf..... 
1. a : ℤ
2. b : ℕ+
3. c : ℤ
4. d : ℕ+
5. 0 ≤ a
6. a * d < c * b
7. 0 < b * d ∧ (0 ≤ (a * d)) ∧ (0 ≤ ((a * d) * b * d))
⊢ let x = (a * d) * b * d in
   let N = isqrt((4 * x) + 2) + 1 in
   let r = isqrt((N * N) * x) in
   (r + 1/N * b * d) ∈ ℚ

2
1. a : ℤ
2. b : ℕ+
3. c : ℤ
4. d : ℕ+
5. 0 ≤ a
6. a * d < c * b
7. 0 < b * d ∧ (0 ≤ (a * d)) ∧ (0 ≤ ((a * d) * b * d))
⊢ <a, b> < let x = (a * d) * b * d in
          let N = isqrt((4 * x) + 2) + 1 in
          let r = isqrt((N * N) * x) in
          (r + 1/N * b * d)
* let x = (a * d) * b * d in
   let N = isqrt((4 * x) + 2) + 1 in
   let r = isqrt((N * N) * x) in
   (r + 1/N * b * d) < <c, d>
∧ 0 < let x = (a * d) * b * d in
       let N = isqrt((4 * x) + 2) + 1 in
       let r = isqrt((N * N) * x) in
       (r + 1/N * b * d)

3
.....wf..... 
1. a : ℤ
2. b : ℕ+
3. c : ℤ
4. d : ℕ+
5. 0 ≤ a
6. a * d < c * b
7. 0 < b * d ∧ (0 ≤ (a * d)) ∧ (0 ≤ ((a * d) * b * d))
8. r : ℚ
⊢ istype(<a, b> < r * r < <c, d> ∧ 0 < r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbZ{}
2.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  c  :  \mBbbZ{}
4.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  0  \mleq{}  a
6.  a  *  d  <  c  *  b
7.  0  <  b  *  d  \mwedge{}  (0  \mleq{}  (a  *  d))  \mwedge{}  (0  \mleq{}  ((a  *  d)  *  b  *  d))
\mvdash{}  \mexists{}r:\mBbbQ{}  [(<a,  b>  <  r  *  r  <  <c,  d>  \mwedge{}  0  <  r)]


By

---

Latex:
With  \mkleeneopen{}let  x  =  (a  *  d)  *  b  *  d  in
              let  N  =  isqrt((4  *  x)  +  2)  +  1  in
              let  r  =  isqrt((N  *  N)  *  x)  in
              (r  +  1/N  *  b  *  d)\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}

---

Home Index