---

Step * 2 1 1 of Lemma presheaf-subset_wf1


1. C : SmallCategory
2. F : presheaf{j:l}(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (F I) ⟶ ℙ{j}
4. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
5. I : cat-ob(C)
6. J : cat-ob(C)
7. K : cat-ob(C)
8. f : cat-arrow(C) J I
9. g : cat-arrow(C) K J
10. rho : F I
11. P[I;rho]
12. ∀[f:cat-arrow(op-cat(C)) I J]. ∀[g:cat-arrow(op-cat(C)) J K].
      ((F I K (cat-comp(op-cat(C)) I J K f g))
      = (cat-comp(type-cat{j:l}) (F I) (F J) (F K) (F I J f) (F J K g))
      ∈ (cat-arrow(type-cat{j:l}) (F I) (F K)))
⊢ (F I K (cat-comp(C) K J I g f) rho) = (F J K g (F I J f rho)) ∈ (F K)
BY
{ (((RWO  "cat_ob_op_lemma op-cat-id op-cat-arrow op-cat-comp" (-1) THENA Auto)
    THEN (InstHyp [⌜f⌝;⌜g⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
    )
   THEN RepUR ``type-cat`` -1
   ) }

1
1. C : SmallCategory
2. F : presheaf{j:l}(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (F I) ⟶ ℙ{j}
4. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
5. I : cat-ob(C)
6. J : cat-ob(C)
7. K : cat-ob(C)
8. f : cat-arrow(C) J I
9. g : cat-arrow(C) K J
10. rho : F I
11. P[I;rho]
12. ∀[f:cat-arrow(C) J I]. ∀[g:cat-arrow(C) K J].
      ((F I K (cat-comp(C) K J I g f))
      = (cat-comp(type-cat{j:l}) (F I) (F J) (F K) (F I J f) (F J K g))
      ∈ (cat-arrow(type-cat{j:l}) (F I) (F K)))
13. (F I K (cat-comp(C) K J I g f)) = ((F J K g) o (F I J f)) ∈ ((F I) ⟶ (F K))
⊢ (F I K (cat-comp(C) K J I g f) rho) = (F J K g (F I J f rho)) ∈ (F K)

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  F  :  presheaf\{j:l\}(C)
3.  P  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  (F  I)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}\{j\}
4.  stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
5.  I  :  cat-ob(C)
6.  J  :  cat-ob(C)
7.  K  :  cat-ob(C)
8.  f  :  cat-arrow(C)  J  I
9.  g  :  cat-arrow(C)  K  J
10.  rho  :  F  I
11.  P[I;rho]
12.  \mforall{}[f:cat-arrow(op-cat(C))  I  J].  \mforall{}[g:cat-arrow(op-cat(C))  J  K].
            ((F  I  K  (cat-comp(op-cat(C))  I  J  K  f  g))
            =  (cat-comp(type-cat\{j:l\})  (F  I)  (F  J)  (F  K)  (F  I  J  f)  (F  J  K  g)))
\mvdash{}  (F  I  K  (cat-comp(C)  K  J  I  g  f)  rho)  =  (F  J  K  g  (F  I  J  f  rho))


By

---

Latex:
(((RWO    "cat\_ob\_op\_lemma  op-cat-id  op-cat-arrow  op-cat-comp"  (-1)  THENA  Auto)
    THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
    )
  THEN  RepUR  ``type-cat``  -1
  )

---

Home Index