---

Step * 2 1 1 of Lemma binomial


1. r : CRng
2. a : |r|
3. b : |r|
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. ((a +r b) ↑r (n - 1)) = (Σ(r) 0 ≤ i < (n - 1) + 1. choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) ∈ |r|
⊢ ((a +r b) ↑r n)
= (((1 ⋅r ((a ↑r 0) * (b ↑r n))) 
    +r 
    (Σ(r) 1 
          ≤ i 
          < n
      (choose(n - 1;i - 1) + choose(n - 1;i)) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i))))) 
   +r 
   (1 ⋅r ((a ↑r n) * (b ↑r 0))))
∈ |r|
BY
{ RewriteWith [] ``rng_nexp_zero rng_nat_op_one rng_nat_op_add 
  rng_sum_plus`` 0 THENA Auto' }

1
1. r : CRng
2. a : |r|
3. b : |r|
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. ((a +r b) ↑r (n - 1)) = (Σ(r) 0 ≤ i < (n - 1) + 1. choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) ∈ |r|
⊢ ((a +r b) ↑r n)
= (((1 * (b ↑r n)) 
    +r 
    ((Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i - 1) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))) 
     +r 
     (Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))))) 
   +r 
   ((a ↑r n) * 1))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  a  :  |r|
3.  b  :  |r|
4.  n  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  n
6.  ((a  +r  b)  \muparrow{}r  (n  -  1))
=  (\mSigma{}(r)  0 
                \mleq{}  i 
                <  (n  -  1)  +  1
        choose(n  -  1;i)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  1  -  i))))
\mvdash{}  ((a  +r  b)  \muparrow{}r  n)
=  (((1  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  0)  *  (b  \muparrow{}r  n))) 
        +r 
        (\mSigma{}(r)  1 
                    \mleq{}  i 
                    <  n
            (choose(n  -  1;i  -  1)  +  choose(n  -  1;i))  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  i))))) 
      +r 
      (1  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  n)  *  (b  \muparrow{}r  0))))


By

---

Latex:
RewriteWith  []  ``rng\_nexp\_zero  rng\_nat\_op\_one  rng\_nat\_op\_add 
    rng\_sum\_plus``  0  THENA  Auto'

---

Home Index