---

Step * 1 2 2 1 2 2 2 of Lemma int-to-ring-add


1. r : Rng
2. a1 : ℤ
3. a2 : ℤ
4. ∀x:ℤ. (int-to-ring(r;x + 1) = (int-to-ring(r;x) +r 1) ∈ |r|)
5. ∀x:ℤ. (int-to-ring(r;x - 1) = (int-to-ring(r;x) +r (-r 1)) ∈ |r|)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. ∀x:ℤ. (|x| < n - 1 ⇒ (∀y:ℤ. (int-to-ring(r;x + y) = (int-to-ring(r;x) +r int-to-ring(r;y)) ∈ |r|)))
9. x : ℤ
10. |x| < n
11. y : ℤ
12. ¬x < 0
13. ¬(x = 0 ∈ ℤ)
14. ∀y:ℤ. (int-to-ring(r;(x - 1) + y) = (int-to-ring(r;x - 1) +r int-to-ring(r;y)) ∈ |r|)
⊢ int-to-ring(r;x + y) = (int-to-ring(r;x) +r int-to-ring(r;y)) ∈ |r|
BY
{ xxx((InstHyp [⌜y + 1⌝] (-1)⋅ THENA Auto) THEN NthHypEq (-1) THEN EqCD THEN Auto)xxx }

1
.....subterm..... T:t
3:n
1. r : Rng
2. a1 : ℤ
3. a2 : ℤ
4. ∀x:ℤ. (int-to-ring(r;x + 1) = (int-to-ring(r;x) +r 1) ∈ |r|)
5. ∀x:ℤ. (int-to-ring(r;x - 1) = (int-to-ring(r;x) +r (-r 1)) ∈ |r|)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. ∀x:ℤ. (|x| < n - 1 ⇒ (∀y:ℤ. (int-to-ring(r;x + y) = (int-to-ring(r;x) +r int-to-ring(r;y)) ∈ |r|)))
9. x : ℤ
10. |x| < n
11. y : ℤ
12. ¬x < 0
13. ¬(x = 0 ∈ ℤ)
14. ∀y:ℤ. (int-to-ring(r;(x - 1) + y) = (int-to-ring(r;x - 1) +r int-to-ring(r;y)) ∈ |r|)
15. int-to-ring(r;(x - 1) + y + 1) = (int-to-ring(r;x - 1) +r int-to-ring(r;y + 1)) ∈ |r|
⊢ (int-to-ring(r;x) +r int-to-ring(r;y)) = (int-to-ring(r;x - 1) +r int-to-ring(r;y + 1)) ∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  Rng
2.  a1  :  \mBbbZ{}
3.  a2  :  \mBbbZ{}
4.  \mforall{}x:\mBbbZ{}.  (int-to-ring(r;x  +  1)  =  (int-to-ring(r;x)  +r  1))
5.  \mforall{}x:\mBbbZ{}.  (int-to-ring(r;x  -  1)  =  (int-to-ring(r;x)  +r  (-r  1)))
6.  n  :  \mBbbZ{}
7.  0  <  n
8.  \mforall{}x:\mBbbZ{}.  (|x|  <  n  -  1  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}y:\mBbbZ{}.  (int-to-ring(r;x  +  y)  =  (int-to-ring(r;x)  +r  int-to-ring(r;y)))))
9.  x  :  \mBbbZ{}
10.  |x|  <  n
11.  y  :  \mBbbZ{}
12.  \mneg{}x  <  0
13.  \mneg{}(x  =  0)
14.  \mforall{}y:\mBbbZ{}.  (int-to-ring(r;(x  -  1)  +  y)  =  (int-to-ring(r;x  -  1)  +r  int-to-ring(r;y)))
\mvdash{}  int-to-ring(r;x  +  y)  =  (int-to-ring(r;x)  +r  int-to-ring(r;y))


By

---

Latex:
xxx((InstHyp  [\mkleeneopen{}y  +  1\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  NthHypEq  (-1)  THEN  EqCD  THEN  Auto)xxx

---

Home Index