---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma p-mul-int-cancelation-1


1. p : {2...}
2. k : ℕ
3. a : p-adics(p)
4. b : p-adics(p)
5. p^k(p) * a = p^k(p) * b ∈ p-adics(p)
6. ∀n:ℕ+. ((p^k * (a n)) ≡ (p^k * (b n)) mod p^n)
7. n : ℕ+
8. c : ℤ
9. ((p^k * (a (n + k))) - p^k * (b (n + k))) = ((p^n * p^k) * c) ∈ ℤ
⊢ (p^k * ((a (n + k)) - b (n + k))) = (p^k * p^n * c) ∈ ℤ
BY
{ (NthHypSq (-1) THEN GenConclTerms Auto [⌜a (n + k)⌝;⌜b (n + k)⌝;⌜p^k⌝;⌜p^n⌝]⋅) }

1
1. p : {2...}
2. k : ℕ
3. a : p-adics(p)
4. b : p-adics(p)
5. p^k(p) * a = p^k(p) * b ∈ p-adics(p)
6. ∀n:ℕ+. ((p^k * (a n)) ≡ (p^k * (b n)) mod p^n)
7. n : ℕ+
8. c : ℤ
9. ((p^k * (a (n + k))) - p^k * (b (n + k))) = ((p^n * p^k) * c) ∈ ℤ
10. v : ℕp^(n + k)
11. (a (n + k)) = v ∈ ℕp^(n + k)
12. v1 : ℕp^(n + k)
13. (b (n + k)) = v1 ∈ ℕp^(n + k)
14. v2 : ℕ+
15. p^k = v2 ∈ ℕ+
16. v3 : ℕ+
17. p^n = v3 ∈ ℕ+
⊢ (v2 * (v - v1)) = (v2 * v3 * c) ∈ ℤ ~ ((v2 * v) - v2 * v1) = ((v3 * v2) * c) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \{2...\}
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  a  :  p-adics(p)
4.  b  :  p-adics(p)
5.  p\^{}k(p)  *  a  =  p\^{}k(p)  *  b
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((p\^{}k  *  (a  n))  \mequiv{}  (p\^{}k  *  (b  n))  mod  p\^{}n)
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  c  :  \mBbbZ{}
9.  ((p\^{}k  *  (a  (n  +  k)))  -  p\^{}k  *  (b  (n  +  k)))  =  ((p\^{}n  *  p\^{}k)  *  c)
\mvdash{}  (p\^{}k  *  ((a  (n  +  k))  -  b  (n  +  k)))  =  (p\^{}k  *  p\^{}n  *  c)


By

---

Latex:
(NthHypSq  (-1)  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}a  (n  +  k)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b  (n  +  k)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\^{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\^{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index