---

Step * of Lemma rng_sum_swap

∀[r:Rng]. ∀[k,m:ℕ]. ∀[F:ℕm ⟶ ℕk ⟶ |r|].
  ((Σ(r) 0 ≤ i < m. Σ(r) 0 ≤ j < k. F[i;j]) = (Σ(r) 0 ≤ j < k. Σ(r) 0 ≤ i < m. F[i;j]) ∈ |r|)
BY
{ InductionOnNat }

1
.....basecase..... 
1. r : Rng
2. k : ℤ
⊢ ∀[m:ℕ]. ∀[F:ℕm ⟶ ℕ0 ⟶ |r|].
    ((Σ(r) 0 ≤ i < m. Σ(r) 0 ≤ j < 0. F[i;j]) = (Σ(r) 0 ≤ j < 0. Σ(r) 0 ≤ i < m. F[i;j]) ∈ |r|)

2
.....upcase..... 
1. r : Rng
2. k : ℤ
3. 0 < k
4. ∀[m:ℕ]. ∀[F:ℕm ⟶ ℕk - 1 ⟶ |r|].
     ((Σ(r) 0 ≤ i < m. Σ(r) 0 ≤ j < k - 1. F[i;j]) = (Σ(r) 0 ≤ j < k - 1. Σ(r) 0 ≤ i < m. F[i;j]) ∈ |r|)
⊢ ∀[m:ℕ]. ∀[F:ℕm ⟶ ℕk ⟶ |r|].
    ((Σ(r) 0 ≤ i < m. Σ(r) 0 ≤ j < k. F[i;j]) = (Σ(r) 0 ≤ j < k. Σ(r) 0 ≤ i < m. F[i;j]) ∈ |r|)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[r:Rng].  \mforall{}[k,m:\mBbbN{}].  \mforall{}[F:\mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}k  {}\mrightarrow{}  |r|].
    ((\mSigma{}(r)  0  \mleq{}  i  <  m.  \mSigma{}(r)  0  \mleq{}  j  <  k.  F[i;j])  =  (\mSigma{}(r)  0  \mleq{}  j  <  k.  \mSigma{}(r)  0  \mleq{}  i  <  m.  F[i;j]))


By

---

Latex:
InductionOnNat

---

Home Index