---

Step * 2 1 3 2 of Lemma State-comb-fun-eq

.....falsecase..... 
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. f : A ─→ B ─→ B
5. init : Id ─→ bag(B)
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)
8. e : E
9. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
10. ¬↑first(e)
11. ∀l:Id. (1 ≤ #(init l))
12. ∀l:Id. single-valued-bag(init l;B)
13. single-valued-classrel(es;X;A)
14. ↑e ∈b X
15. v : (∃e':{E| ((e' <loc e)
                 ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'))
                 ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'')))))})
∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e')))}))@i
16. (last(λe'.0 <z #(State-comb(init;f;X) es e')) pred(e))
= v
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e')))})))@i
17. ¬↑first(e)
18. ¬0 < #(State-comb(init;f;X) es pred(e))
⊢ sv-bag-only(lifting-2(f) (X es e) case v of inl(e') => State-comb(init;f;X) es e' | inr(x) => init loc(e))
= (f sv-bag-only(X es e) sv-bag-only(State-comb(init;f;X) es pred(e)))
∈ B
BY
{ ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto)
   THEN (InstLemma `State-comb-exists-iff` [⌈Info⌉;⌈B⌉;⌈A⌉;⌈f⌉;⌈init⌉;⌈X⌉;⌈es⌉;⌈pred(e)⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN Thin (-1)
   THEN D -1) }

1
.....antecedent..... 
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. f : A ─→ B ─→ B
5. init : Id ─→ bag(B)
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)
8. e : E
9. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
10. ¬↑first(e)
11. ∀l:Id. (1 ≤ #(init l))
12. ∀l:Id. single-valued-bag(init l;B)
13. single-valued-classrel(es;X;A)
14. ↑e ∈b X
15. v : (∃e':{E| ((e' <loc e)
                 ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'))
                 ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'')))))})
∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e')))}))@i
16. (last(λe'.0 <z #(State-comb(init;f;X) es e')) pred(e))
= v
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e')))})))@i
17. ¬↑first(e)
18. ¬0 < #(State-comb(init;f;X) es pred(e))
⊢ #(init loc(pred(e))) > 0

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. f : A ─→ B ─→ B
5. init : Id ─→ bag(B)
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)
8. e : E
9. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
10. ¬↑first(e)
11. ∀l:Id. (1 ≤ #(init l))
12. ∀l:Id. single-valued-bag(init l;B)
13. single-valued-classrel(es;X;A)
14. ↑e ∈b X
15. v : (∃e':{E| ((e' <loc e)
                 ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'))
                 ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'')))))})
∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e')))}))@i
16. (last(λe'.0 <z #(State-comb(init;f;X) es e')) pred(e))
= v
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(State-comb(init;f;X) es e')))})))@i
17. ¬↑first(e)
18. ¬0 < #(State-comb(init;f;X) es pred(e))
19. ↓∃v:B. v ∈ State-comb(init;f;X)(pred(e))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:
.....falsecase..... 
1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  A  :  Type
4.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  X  :  EClass(A)
7.  es  :  EO+(Info)
8.  e  :  E
9.  \mneg{}((X  es  e)  =  \{\})
10.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
11.  \mforall{}l:Id.  (1  \mleq{}  \#(init  l))
12.  \mforall{}l:Id.  single-valued-bag(init  l;B)
13.  single-valued-classrel(es;X;A)
14.  \muparrow{}e  \mmember{}\msubb{}  X
15.  v  :  (\mexists{}e':\{E|  ((e'  <loc  e)
                                  \mwedge{}  (\muparrow{}0  <z  \#(State-comb(init;f;X)  es  e'))
                                  \mwedge{}  (\mforall{}e'':E
                                            ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  (e''  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}0  <z  \#(State-comb(init;f;X)  es  e'')))))\})
\mvee{}  (\mneg{}(\mexists{}e':\{E|  ((e'  <loc  e)  \mwedge{}  (\muparrow{}0  <z  \#(State-comb(init;f;X)  es  e')))\}))@i
16.  (last(\mlambda{}e'.0  <z  \#(State-comb(init;f;X)  es  e'))  pred(e))  =  v@i
17.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
18.  \mneg{}0  <  \#(State-comb(init;f;X)  es  pred(e))
\mvdash{}  sv-bag-only(lifting-2(f)  (X  es  e) 
                            case  v  of  inl(e')  =>  State-comb(init;f;X)  es  e'  |  inr(x)  =>  init  loc(e))
=  (f  sv-bag-only(X  es  e)  sv-bag-only(State-comb(init;f;X)  es  pred(e)))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  (InstLemma  `State-comb-exists-iff`  [\mkleeneopen{}Info\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}init\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}pred(e)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  D  -1)

---

Home Index