Proof of Nuprl Lemma : State-comb-mem

Step * 1 of Lemma State-comb-mem

1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : A ─→ B ─→ B ─→ ℙ
5. f : A ─→ B ─→ B
6. init : Id ─→ bag(B)
7. X : EClass(A)
8. es : EO+(Info)
9. e1 : E
10. e2 : E
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. a : A@i
14. ∀a:A. ∀s:B. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
15. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:B. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ s1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ s2 ∈ State-comb(init;f;X)(pred(e'))
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
16. ∀s1,s2:B. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
17. single-valued-classrel(es;X;A)@i
18. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
19. e1 ≤loc e2 @i
20. a ∈ X(e1)@i
21. v1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e1)@i
22. v2 ∈ State-comb(init;f;X)(e2)@i
⊢ R[a;v1;v2]
BY

{ (InstLemma `iterated_classrel_mem2` [⌈Info⌉;⌈A⌉;⌈B⌉;⌈init⌉;⌈f⌉;⌈X⌉;⌈es⌉;⌈R⌉;⌈e1⌉;⌈e2⌉;⌈v1⌉;⌈v2⌉;⌈a⌉]⋅

   THEN Auto
   THEN Try (Complete ((MaUseClassRel (-1) THEN Auto)))) }

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1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : A ─→ B ─→ B ─→ ℙ
5. f : A ─→ B ─→ B
6. init : Id ─→ bag(B)
7. X : EClass(A)
8. es : EO+(Info)
9. e1 : E
10. e2 : E
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. a : A@i
14. ∀a:A. ∀s:B. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
15. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:B. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ s1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ s2 ∈ State-comb(init;f;X)(pred(e'))
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
16. ∀s1,s2:B. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
17. single-valued-classrel(es;X;A)@i
18. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
19. e1 ≤loc e2 @i
20. a ∈ X(e1)@i
21. v1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e1)@i
22. v2 ∈ State-comb(init;f;X)(e2)@i
23. a1 : A@i
24. s : B@i
25. e : E@i
26. e1 ≤loc e @i
27. e ≤loc e2 @i
28. a1 ∈ X(e)@i
29. s ∈ prior(X*(f,init,e))@i
⊢ R[a1;s;f a1 s]

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : A ─→ B ─→ B ─→ ℙ
5. f : A ─→ B ─→ B
6. init : Id ─→ bag(B)
7. X : EClass(A)
8. es : EO+(Info)
9. e1 : E
10. e2 : E
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. a : A@i
14. ∀a:A. ∀s:B. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
15. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:B. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ s1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ s2 ∈ State-comb(init;f;X)(pred(e'))
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
16. ∀s1,s2:B. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
17. single-valued-classrel(es;X;A)@i
18. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
19. e1 ≤loc e2 @i
20. a ∈ X(e1)@i
21. v1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e1)@i
22. v2 ∈ State-comb(init;f;X)(e2)@i
23. a1 : A@i
24. a2 : A@i
25. s1 : B@i
26. s2 : B@i
27. e : E@i
28. e' : E@i
29. e1 ≤loc e @i
30. (e <loc e')@i
31. e' ≤loc e2 @i
32. a1 ∈ X(e)@i
33. s1 ∈ prior(X*(f,init,e))@i
34. a2 ∈ X(e')@i
35. iterated_classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e');s2)@i
36. R[a1;s1;s2]@i
⊢ R[a1;s1;f a2 s2]

3
.....antecedent.....
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : A ─→ B ─→ B ─→ ℙ
5. f : A ─→ B ─→ B
6. init : Id ─→ bag(B)
7. X : EClass(A)
8. es : EO+(Info)
9. e1 : E
10. e2 : E
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. a : A@i
14. ∀a:A. ∀s:B. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
15. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:B. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ s1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ s2 ∈ State-comb(init;f;X)(pred(e'))
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
16. ∀s1,s2:B. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
17. single-valued-classrel(es;X;A)@i
18. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
19. e1 ≤loc e2 @i
20. a ∈ X(e1)@i
21. v1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e1)@i
22. v2 ∈ State-comb(init;f;X)(e2)@i
⊢ v1 ∈ prior(X*(f,init,e1))

Latex:

Latex:
1. Info : Type 2. B : Type 3. A : Type 4. R : A {}\mrightarrow{} B {}\mrightarrow{} B {}\mrightarrow{} \mBbbP{} 5. f : A {}\mrightarrow{} B {}\mrightarrow{} B 6. init : Id {}\mrightarrow{} bag(B) 7. X : EClass(A) 8. es : EO+(Info) 9. e1 : E 10. e2 : E 11. v1 : B@i 12. v2 : B@i 13. a : A@i 14. \mforall{}a:A. \mforall{}s:B. \mforall{}e:E. (e1 \mleq{}loc e {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} s \mmember{} Memory-class(f;init;X)(e) {}\mRightarrow{} R[a;s;f a s])@i 15. \mforall{}a1,a2:A. \mforall{}s1,s2:B. \mforall{}e,e':E. (e1 \mleq{}loc e {}\mRightarrow{} (e <loc e') {}\mRightarrow{} e' \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} a1 \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} s1 \mmember{} Memory-class(f;init;X)(e) {}\mRightarrow{} a2 \mmember{} X(e') {}\mRightarrow{} s2 \mmember{} State-comb(init;f;X)(pred(e')) {}\mRightarrow{} R[a1;s1;s2] {}\mRightarrow{} R[a1;s1;f a2 s2])@i 16. \mforall{}s1,s2:B. \mforall{}a:A. SqStable(R[a;s1;s2])@i 17. single-valued-classrel(es;X;A)@i 18. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i 19. e1 \mleq{}loc e2 @i 20. a \mmember{} X(e1)@i 21. v1 \mmember{} Memory-class(f;init;X)(e1)@i 22. v2 \mmember{} State-comb(init;f;X)(e2)@i \mvdash{} R[a;v1;v2] By Latex: (InstLemma `iterated\_classrel\_mem2` [\mkleeneopen{}Info\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}init\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}R\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}] \mcdot{} THEN Auto THEN Try (Complete ((MaUseClassRel (-1) THEN Auto)))) Home Index