---

Step * 2 2 2 of Lemma State-loc-comb-classrel-non-loc


1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. f : Id ─→ A ─→ B ─→ B
5. init : Id ─→ bag(B)
6. X : EClass(A)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. e : E@i
9. ∀e':E. ((e' < e) ⇒ (∀v:B. (v ∈ State-loc-comb(init;f;X)(e') ⇐⇒ v ∈ State-comb(init;f loc(e');X)(e'))))
10. v : B@i
11. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
12. a : A
13. b : B
14. a ∈ X(e)
15. ∀e':E
      ((e' <loc e) ⇒ (∀w:B. (¬w ∈ λx,s. if bag-null(x) then s else lifting-2(f loc(e)) x s fi |X,Prior(self)?init|(e'))\000C))
16. b ↓∈ init loc(e)
17. v = (f loc(e) a b) ∈ B
18. ¬((X es e) = {} ∈ bag(A))
⊢ ↓(∃e':E
     ((es-p-local-pred(es;λe'.(↓∃w:B
                                 w ∈ λl,x,s. if bag-null(x) then s else lifting-loc-2(f) l x s fi |Loc, X, Prior(self)?i\000Cnit|(
                                     e'))) 
       e 
       e')
     ∧ b ∈ λl,x,s. if bag-null(x) then s else lifting-loc-2(f) l x s fi |Loc, X, Prior(self)?init|(e')))
   ∨ ((∀e':E
         ((e' <loc e)
         ⇒ (∀w:B. (¬w ∈ λl,x,s. if bag-null(x) then s else lifting-loc-2(f) l x s fi |Loc, X, Prior(self)?init|(e')))))
     ∧ b ↓∈ init loc(e))
BY
{ (D 0
   THEN OrRight
   THEN Auto
   THEN (InstHyp [⌈e'⌉;⌈w⌉] (-7)⋅ THENA Auto)
   THEN ParallelLast
   THEN (InstHyp [⌈e'⌉;⌈w⌉] (-14)⋅ THENA Auto)
   THEN RepUR ``State-loc-comb State-comb`` (-1)
   THEN Subst ⌈loc(e) = loc(e') ∈ Id⌉ 0⋅
   THEN MaAuto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  A  :  Type
4.  f  :  Id  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  X  :  EClass(A)@i'
7.  es  :  EO+(Info)@i'
8.  e  :  E@i
9.  \mforall{}e':E
          ((e'  <  e)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v:B.  (v  \mmember{}  State-loc-comb(init;f;X)(e')  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  v  \mmember{}  State-comb(init;f  loc(e');X)(e'))))
10.  v  :  B@i
11.  \mneg{}((X  es  e)  =  \{\})
12.  a  :  A
13.  b  :  B
14.  a  \mmember{}  X(e)
15.  \mforall{}e':E
            ((e'  <loc  e)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}w:B
                        (\mneg{}w  \mmember{}  \mlambda{}x,s.  if  bag-null(x)  then  s  else  lifting-2(f  loc(e))  x  s  fi  |X,Prior(self)?init|(
                                    e'))))
16.  b  \mdownarrow{}\mmember{}  init  loc(e)
17.  v  =  (f  loc(e)  a  b)
18.  \mneg{}((X  es  e)  =  \{\})
\mvdash{}  \mdownarrow{}(\mexists{}e':E
          ((es-p-local-pred(es;\mlambda{}e'.(\mdownarrow{}\mexists{}w:B
                                                                  w  \mmember{}
                                                                    \mlambda{}l,x,s.  if  bag-null(x)
                                                                                  then  s
                                                                                  else  lifting-loc-2(f)  l  x  s
                                                                                  fi  |Loc,  X,  Prior(self)?init|(e'))) 
              e 
              e')
          \mwedge{}  b  \mmember{}  \mlambda{}l,x,s.  if  bag-null(x)  then  s  else  lifting-loc-2(f)  l  x  s  fi  |Loc,  X,  Prior(self)?init|(e\000C')))
      \mvee{}  ((\mforall{}e':E
                  ((e'  <loc  e)
                  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}w:B
                              (\mneg{}w  \mmember{}
                                    \mlambda{}l,x,s.  if  bag-null(x)  then  s  else  lifting-loc-2(f)  l  x  s  fi  |Loc,  X,  Prior(self)?\000Cinit|(
                                    e')))))
          \mwedge{}  b  \mdownarrow{}\mmember{}  init  loc(e))


By

---

Latex:
(D  0
  THEN  OrRight
  THEN  Auto
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}e'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}w\mkleeneclose{}]  (-7)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ParallelLast
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}e'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}w\mkleeneclose{}]  (-14)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``State-loc-comb  State-comb``  (-1)
  THEN  Subst  \mkleeneopen{}loc(e)  =  loc(e')\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  MaAuto)

---

Home Index