---

Step * 1 1 1 2 1 of Lemma Q-R-glues-split

.....assertion..... 
1. Info : Type
2. P : es:EO+(Info) ─→ E ─→ ℙ
3. p : ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  Dec(P[es;e])@i'
4. A : Type
5. B : Type
6. Ia : EClass(A)@i'
7. Ib : EClass(B)@i'
8. Singlevalued(Ia) ∧ Singlevalued(Ib)@i'
9. g1 : es:EO+(Info) ─→ E(Ib) ─→ E@i'
10. q : ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  Dec((↑e ∈b Ib) c∧ P[es;g1 es e])@i'
11. es : EO+(Info)@i'
12. Q : E ─→ E ─→ ℙ
13. R : E ─→ E ─→ ℙ
14. ∀x,y:E.  ((Q x y) ⇒ (P[es;x] ⇐⇒ P[es;y]))@i
15. f : E(Ia) ─→ B@i
16. g2 : E(Ib) ─→ E@i
17. g1 es glues (Ia|p):Q ──f─→ (Ib|q):R@i
18. g2 glues (Ia|¬p):Q ──f─→ (Ib|¬q):R@i
19. (E((Ib|q)) ⊆r E(Ib)) ∧ (E((Ia|p)) ⊆r E(Ia))
20. (E((Ia|¬p)) ⊆r E(Ia)) ∧ (E((Ib|¬q)) ⊆r E(Ib))
21. [{(Ib|q)}? g1 es : g2] glues [(Ia|p)?(Ia|¬p)]:Q|{(Ia|p)} ∨ Q|{(Ia|¬p)} ──f─→ [(Ib|q)?(Ib|¬q)]:R
22. Q ⇐⇒ Q|{(Ia|p)} ∨ Q|{(Ia|¬p)}
⊢ [λe.P[es;g1 es e]? g1 es : g2] = [{(Ib|q)}? g1 es : g2] ∈ (E(Ib) ─→ E)
BY
{ (RepUR ``conditional`` 0 THEN (EqCD THENA Auto)) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. Info : Type
2. P : es:EO+(Info) ─→ E ─→ ℙ
3. p : ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  Dec(P[es;e])@i'
4. A : Type
5. B : Type
6. Ia : EClass(A)@i'
7. Ib : EClass(B)@i'
8. Singlevalued(Ia) ∧ Singlevalued(Ib)@i'
9. g1 : es:EO+(Info) ─→ E(Ib) ─→ E@i'
10. q : ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  Dec((↑e ∈b Ib) c∧ P[es;g1 es e])@i'
11. es : EO+(Info)@i'
12. Q : E ─→ E ─→ ℙ
13. R : E ─→ E ─→ ℙ
14. ∀x,y:E.  ((Q x y) ⇒ (P[es;x] ⇐⇒ P[es;y]))@i
15. f : E(Ia) ─→ B@i
16. g2 : E(Ib) ─→ E@i
17. g1 es glues (Ia|p):Q ──f─→ (Ib|q):R@i
18. g2 glues (Ia|¬p):Q ──f─→ (Ib|¬q):R@i
19. (E((Ib|q)) ⊆r E(Ib)) ∧ (E((Ia|p)) ⊆r E(Ia))
20. (E((Ia|¬p)) ⊆r E(Ia)) ∧ (E((Ib|¬q)) ⊆r E(Ib))
21. [{(Ib|q)}? g1 es : g2] glues [(Ia|p)?(Ia|¬p)]:Q|{(Ia|p)} ∨ Q|{(Ia|¬p)} ──f─→ [(Ib|q)?(Ib|¬q)]:R
22. Q ⇐⇒ Q|{(Ia|p)} ∨ Q|{(Ia|¬p)}
23. x : E(Ib)@i
⊢ if p:P[es;g1 es x] then g1 es x else g2 x fi  = if p:{(Ib|q)} x then g1 es x else g2 x fi  ∈ E

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  Info  :  Type
2.  P  :  es:EO+(Info)  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  p  :  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    Dec(P[es;e])@i'
4.  A  :  Type
5.  B  :  Type
6.  Ia  :  EClass(A)@i'
7.  Ib  :  EClass(B)@i'
8.  Singlevalued(Ia)  \mwedge{}  Singlevalued(Ib)@i'
9.  g1  :  es:EO+(Info)  {}\mrightarrow{}  E(Ib)  {}\mrightarrow{}  E@i'
10.  q  :  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    Dec((\muparrow{}e  \mmember{}\msubb{}  Ib)  c\mwedge{}  P[es;g1  es  e])@i'
11.  es  :  EO+(Info)@i'
12.  Q  :  E  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
13.  R  :  E  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
14.  \mforall{}x,y:E.    ((Q  x  y)  {}\mRightarrow{}  (P[es;x]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  P[es;y]))@i
15.  f  :  E(Ia)  {}\mrightarrow{}  B@i
16.  g2  :  E(Ib)  {}\mrightarrow{}  E@i
17.  g1  es  glues  (Ia|p):Q  {}{}f{}\mrightarrow{}  (Ib|q):R@i
18.  g2  glues  (Ia|\mneg{}p):Q  {}{}f{}\mrightarrow{}  (Ib|\mneg{}q):R@i
19.  (E((Ib|q))  \msubseteq{}r  E(Ib))  \mwedge{}  (E((Ia|p))  \msubseteq{}r  E(Ia))
20.  (E((Ia|\mneg{}p))  \msubseteq{}r  E(Ia))  \mwedge{}  (E((Ib|\mneg{}q))  \msubseteq{}r  E(Ib))
21.  [\{(Ib|q)\}?  g1  es  :  g2]  glues  [(Ia|p)?(Ia|\mneg{}p)]:Q|\{(Ia|p)\}  \mvee{}  Q|\{(Ia|\mneg{}p)\}  {}{}f{}\mrightarrow{}  [(Ib|q)?(Ib|\mneg{}q)]:R
22.  Q  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  Q|\{(Ia|p)\}  \mvee{}  Q|\{(Ia|\mneg{}p)\}
\mvdash{}  [\mlambda{}e.P[es;g1  es  e]?  g1  es  :  g2]  =  [\{(Ib|q)\}?  g1  es  :  g2]


By

---

Latex:
(RepUR  ``conditional``  0  THEN  (EqCD  THENA  Auto))

---

Home Index