---

Step * 1 1 2 1 of Lemma consensus-reachable

.....assertion..... 
1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. three-intersection(A;W)@i
7. two-intersection(A;W)
8. one-intersection(A;W)
9. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
10. (ws ∈ W)@i
11. a : {a:Id| (a ∈ A)} 
12. (a ∈ ws)
13. 0 < ||ws||
14. x : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
15. x ∈ ConsensusState
16. i : ℤ
17. x' : ConsensusState
18. x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) x'
19. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ ((Inning(x';a) = i ∈ ℤ) ∧ (¬(i ∈ fpf-domain(Estimate(x';a))))))
⊢ ∃y:ConsensusState. ((x' ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) y) ∧ (∃v:V. ∃i:ℤ. in state y, inning i has committed v))
BY
{ (Assert x' ∈ ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)) BY
         (DVar `x'
          THEN MemTypeCD
          THEN Auto
          THEN Try ((Using [`y',⌈x⌉] (BLemma `rel_star_transitivity`)⋅ THEN Auto))
          THEN Try ((RepUR ``ts-type consensus-ts4`` 0 THEN Complete (Auto))))) }

1
1. V : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. three-intersection(A;W)@i
7. two-intersection(A;W)
8. one-intersection(A;W)
9. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
10. (ws ∈ W)@i
11. a : {a:Id| (a ∈ A)} 
12. (a ∈ ws)
13. 0 < ||ws||
14. x : ts-type(consensus-ts4(V;A;W))@i
15. ts-init(consensus-ts4(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))^*) x@i
16. x ∈ ConsensusState
17. i : ℤ
18. x' : ConsensusState
19. x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) x'
20. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ ((Inning(x';a) = i ∈ ℤ) ∧ (¬(i ∈ fpf-domain(Estimate(x';a))))))
⊢ x (ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))^*) x'

2
1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. three-intersection(A;W)@i
7. two-intersection(A;W)
8. one-intersection(A;W)
9. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
10. (ws ∈ W)@i
11. a : {a:Id| (a ∈ A)} 
12. (a ∈ ws)
13. 0 < ||ws||
14. x : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
15. x ∈ ConsensusState
16. i : ℤ
17. x' : ConsensusState
18. x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) x'
19. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ ((Inning(x';a) = i ∈ ℤ) ∧ (¬(i ∈ fpf-domain(Estimate(x';a))))))
20. x' ∈ ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))
⊢ ∃y:ConsensusState. ((x' ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) y) ∧ (∃v:V. ∃i:ℤ. in state y, inning i has committed v))

---

Latex:


.....assertion..... 
1.  [V]  :  Type
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  \{\mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))\}@i
4.  A  :  Id  List@i
5.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
6.  three-intersection(A;W)@i
7.  two-intersection(A;W)
8.  one-intersection(A;W)
9.  ws  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
10.  (ws  \mmember{}  W)@i
11.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
12.  (a  \mmember{}  ws)
13.  0  <  ||ws||
14.  x  :  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
15.  x  \mmember{}  ConsensusState
16.  i  :  \mBbbZ{}
17.  x'  :  ConsensusState
18.  x  rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR(in  ws)[x,  y]  )  x'
19.  \mforall{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  ((a  \mmember{}  ws)  {}\mRightarrow{}  ((Inning(x';a)  =  i)  \mwedge{}  (\mneg{}(i  \mmember{}  fpf-domain(Estimate(x';a))))))
\mvdash{}  \mexists{}y:ConsensusState
      ((x'  ((\mlambda{}x,y.  CR(in  ws)[x,  y]  )\^{}*)  y)  \mwedge{}  (\mexists{}v:V.  \mexists{}i:\mBbbZ{}.  in  state  y,  inning  i  has  committed  v))


By

(Assert  x'  \mmember{}  ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))  BY
              (DVar  `x'
                THEN  MemTypeCD
                THEN  Auto
                THEN  Try  ((Using  [`y',\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (BLemma  `rel\_star\_transitivity`)\mcdot{}  THEN  Auto))
                THEN  Try  ((RepUR  ``ts-type  consensus-ts4``  0  THEN  Complete  (Auto)))))

---

Home Index