---

Step * 2 1 2 2 1 of Lemma consensus-refinement4


1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v1 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v1 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. 1 < ||W||@i
9. two-intersection(A;W)@i
10. x1 : ConsensusState@i
11. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
12. y1 : ConsensusState@i
13. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
14. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
15. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
16. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
17. Knowledge(y2;a) = Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)@i
18. ¬(Inning(x1;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
19. v : V@i
20. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
21. ↑b ∈ dom(Knowledge(x2;a))@i
22. let j,z = Knowledge(x2;a)(b) 
    in case z of inl(p) => let j',v' = p in (j' = Inning(x1;a) ∈ ℤ) ∧ (v' = v ∈ V) | inr(x) => False@i
23. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ⊕ Inning(x1;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V@i
24. <x1, x2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
25. <y1, y2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
⊢ x1 ((λx,y. CR[x,y])^*) y1
BY
{ (Assert Inning(x1;a) < Inning(x1;b)
         ∧ (↑Inning(x1;a) ∈ dom(Estimate(x1;b)))
         ∧ (Estimate(x1;b)(Inning(x1;a)) = v ∈ V) BY
         (ThinVar `y1'
          THEN ((InstLemma `consensus-ts5-true-knowledge` [⌈V⌉;⌈A⌉;⌈W⌉;⌈<x1, x2>⌉]⋅ THENA Auto)
                THEN Reduce (-1)
                THEN (InstHyp [⌈a⌉;⌈b⌉] (-1)⋅ THENA Auto)
                THEN Thin (-2))
          THEN MoveToConcl (-1)
          THEN MoveToConcl (-2)
          THEN DVar `b'
          THEN (GenConclAtAddr [1;1] THENA Auto)
          THEN RepeatFor 2 (D -2)
          THEN Reduce 0
          THEN Try (Complete (Auto))
          THEN D -2
          THEN Reduce 0
          THEN RepeatFor 2 (Auto))) }

1
1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v1 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v1 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. 1 < ||W||@i
9. two-intersection(A;W)@i
10. x1 : ConsensusState@i
11. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
12. y1 : ConsensusState@i
13. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
14. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
15. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
16. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
17. Knowledge(y2;a) = Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)@i
18. ¬(Inning(x1;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
19. v : V@i
20. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
21. ↑b ∈ dom(Knowledge(x2;a))@i
22. let j,z = Knowledge(x2;a)(b) 
    in case z of inl(p) => let j',v' = p in (j' = Inning(x1;a) ∈ ℤ) ∧ (v' = v ∈ V) | inr(x) => False@i
23. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ⊕ Inning(x1;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V@i
24. <x1, x2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
25. <y1, y2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
26. Inning(x1;a) < Inning(x1;b) ∧ (↑Inning(x1;a) ∈ dom(Estimate(x1;b))) ∧ (Estimate(x1;b)(Inning(x1;a)) = v ∈ V)
⊢ x1 ((λx,y. CR[x,y])^*) y1

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  v1  :  V@i
4.  v'  :  V@i
5.  \mneg{}(v1  =  v')@i
6.  A  :  Id  List@i
7.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
8.  1  <  ||W||@i
9.  two-intersection(A;W)@i
10.  x1  :  ConsensusState@i
11.  x2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
12.  y1  :  ConsensusState@i
13.  y2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
14.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
15.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((\mneg{}(b  =  a))
            {}\mRightarrow{}  ((Inning(y1;b)  =  Inning(x1;b))
                  \mwedge{}  (Estimate(y1;b)  =  Estimate(x1;b))
                  \mwedge{}  (Knowledge(y2;b)  =  Knowledge(x2;b))))@i
16.  Inning(y1;a)  =  Inning(x1;a)@i
17.  Knowledge(y2;a)  =  Knowledge(x2;a)@i
18.  \mneg{}(Inning(x1;a)  \mmember{}  fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
19.  v  :  V@i
20.  b  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
21.  \muparrow{}b  \mmember{}  dom(Knowledge(x2;a))@i
22.  let  j,z  =  Knowledge(x2;a)(b) 
        in  case  z  of  inl(p)  =>  let  j',v'  =  p  in  (j'  =  Inning(x1;a))  \mwedge{}  (v'  =  v)  |  inr(x)  =>  False@i
23.  Estimate(y1;a)  =  Estimate(x1;a)  \moplus{}  Inning(x1;a)  :  v@i
24.  <x1,  x2>  \mmember{}  ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
25.  <y1,  y2>  \mmember{}  ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
\mvdash{}  x1  rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR[x,y])  y1


By

(Assert  Inning(x1;a)  <  Inning(x1;b)
              \mwedge{}  (\muparrow{}Inning(x1;a)  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b)))
              \mwedge{}  (Estimate(x1;b)(Inning(x1;a))  =  v)  BY
              (ThinVar  `y1'
                THEN  ((InstLemma  `consensus-ts5-true-knowledge`  [\mkleeneopen{}V\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}W\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}<x1,  x2>\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Reduce  (-1)
                            THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Thin  (-2))
                THEN  MoveToConcl  (-1)
                THEN  MoveToConcl  (-2)
                THEN  DVar  `b'
                THEN  (GenConclAtAddr  [1;1]  THENA  Auto)
                THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
                THEN  Reduce  0
                THEN  Try  (Complete  (Auto))
                THEN  D  -2
                THEN  Reduce  0
                THEN  RepeatFor  2  (Auto)))

---

Home Index