---

Step * 2 1 2 2 1 1 of Lemma consensus-refinement4


1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v1 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v1 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. 1 < ||W||@i
9. two-intersection(A;W)@i
10. x1 : ConsensusState@i
11. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
12. y1 : ConsensusState@i
13. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
14. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
15. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
16. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
17. Knowledge(y2;a) = Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)@i
18. ¬(Inning(x1;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
19. v : V@i
20. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
21. ↑b ∈ dom(Knowledge(x2;a))@i
22. let j,z = Knowledge(x2;a)(b) 
    in case z of inl(p) => let j',v' = p in (j' = Inning(x1;a) ∈ ℤ) ∧ (v' = v ∈ V) | inr(x) => False@i
23. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ⊕ Inning(x1;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V@i
24. <x1, x2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
25. <y1, y2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
26. Inning(x1;a) < Inning(x1;b) ∧ (↑Inning(x1;a) ∈ dom(Estimate(x1;b))) ∧ (Estimate(x1;b)(Inning(x1;a)) = v ∈ V)
⊢ x1 ((λx,y. CR[x,y])^*) y1
BY
{ ((BLemma `rel_rel_star` THEN Auto)
   THEN RepUR ``consensus-rel`` 0
   THEN InstConcl [⌈a⌉]⋅
   THEN Auto
   THEN (OrRight THEN Auto)
   THEN InstConcl [⌈v⌉]⋅
   THEN Auto) }

1
1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v1 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v1 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. 1 < ||W||@i
9. two-intersection(A;W)@i
10. x1 : ConsensusState@i
11. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
12. y1 : ConsensusState@i
13. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
14. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
15. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
16. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
17. Knowledge(y2;a) = Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)@i
18. ¬(Inning(x1;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
19. v : V@i
20. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
21. ↑b ∈ dom(Knowledge(x2;a))@i
22. let j,z = Knowledge(x2;a)(b) 
    in case z of inl(p) => let j',v' = p in (j' = Inning(x1;a) ∈ ℤ) ∧ (v' = v ∈ V) | inr(x) => False@i
23. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ⊕ Inning(x1;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V@i
24. <x1, x2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
25. <y1, y2> ∈ ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
26. Inning(x1;a) < Inning(x1;b)
27. ↑Inning(x1;a) ∈ dom(Estimate(x1;b))
28. Estimate(x1;b)(Inning(x1;a)) = v ∈ V
29. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)))
30. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ
31. ¬(Inning(x1;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x1;a)))
⊢ state x1 may consider v in inning Inning(x1;a)

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  v1  :  V@i
4.  v'  :  V@i
5.  \mneg{}(v1  =  v')@i
6.  A  :  Id  List@i
7.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
8.  1  <  ||W||@i
9.  two-intersection(A;W)@i
10.  x1  :  ConsensusState@i
11.  x2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
12.  y1  :  ConsensusState@i
13.  y2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
14.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
15.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((\mneg{}(b  =  a))
            {}\mRightarrow{}  ((Inning(y1;b)  =  Inning(x1;b))
                  \mwedge{}  (Estimate(y1;b)  =  Estimate(x1;b))
                  \mwedge{}  (Knowledge(y2;b)  =  Knowledge(x2;b))))@i
16.  Inning(y1;a)  =  Inning(x1;a)@i
17.  Knowledge(y2;a)  =  Knowledge(x2;a)@i
18.  \mneg{}(Inning(x1;a)  \mmember{}  fpf-domain(Estimate(x1;a)))@i
19.  v  :  V@i
20.  b  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
21.  \muparrow{}b  \mmember{}  dom(Knowledge(x2;a))@i
22.  let  j,z  =  Knowledge(x2;a)(b) 
        in  case  z  of  inl(p)  =>  let  j',v'  =  p  in  (j'  =  Inning(x1;a))  \mwedge{}  (v'  =  v)  |  inr(x)  =>  False@i
23.  Estimate(y1;a)  =  Estimate(x1;a)  \moplus{}  Inning(x1;a)  :  v@i
24.  <x1,  x2>  \mmember{}  ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
25.  <y1,  y2>  \mmember{}  ts-reachable(consensus-ts5(V;A;W))
26.  Inning(x1;a)  <  Inning(x1;b)
\mwedge{}  (\muparrow{}Inning(x1;a)  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b)))
\mwedge{}  (Estimate(x1;b)(Inning(x1;a))  =  v)
\mvdash{}  x1  rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR[x,y])  y1


By

((BLemma  `rel\_rel\_star`  THEN  Auto)
  THEN  RepUR  ``consensus-rel``  0
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (OrRight  THEN  Auto)
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index