---

Step * 2 of Lemma cs-ref-map-step


1. [V] : Type
2. {∃v1,v2:V. (¬(v1 = v2 ∈ V))}@i
3. A : Id List@i
4. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
5. ||W|| ≥ 1 
6. f : ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)@i
7. cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)@i
8. x : ConsensusState@i
9. \\%5 : (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) x@i
10. y : ConsensusState@i
11. \\%7 : (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) y@i
12. CR[x,y]@i
13. ||f x|| ≤ ||f y||
⊢ ∃i:ℤ
   ((∀j:ℕ||f x||. f y[j] = f x[j] ∈ consensus-state3(V) supposing ¬(j = i ∈ ℤ))
   ∧ (||f y|| = (||f x|| + 1) ∈ ℤ) ∧ (f y[||f x||] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) supposing ||f x|| < ||f y||)
BY
{ (D -2 THEN ExRepD THEN (InstConcl [⌈Inning(x;a)⌉]⋅ THENA Auto) THEN D 0) }

1
1. [V] : Type
2. {∃v1,v2:V. (¬(v1 = v2 ∈ V))}@i
3. A : Id List@i
4. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
5. ||W|| ≥ 1 
6. f : ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)@i
7. cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)@i
8. x : ConsensusState@i
9. \\%5 : (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) x@i
10. y : ConsensusState@i
11. \\%7 : (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) y@i
12. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
13. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((Inning(y;b) = Inning(x;b) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;b) = Estimate(x;b) ∈ i:ℤ fp-> V)))@i
14. ((Inning(y;a) = (Inning(x;a) + 1) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ∈ i:ℤ fp-> V))
∨ ((Inning(y;a) = Inning(x;a) ∈ ℤ)
  ∧ (¬(Inning(x;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x;a))))
  ∧ (∃v:V
      (state x may consider v in inning Inning(x;a)
      ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ⊕ Inning(x;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V))))@i
15. ||f x|| ≤ ||f y||
⊢ ∀j:ℕ||f x||. f y[j] = f x[j] ∈ consensus-state3(V) supposing ¬(j = Inning(x;a) ∈ ℤ)

2
1. [V] : Type
2. {∃v1,v2:V. (¬(v1 = v2 ∈ V))}@i
3. A : Id List@i
4. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
5. ||W|| ≥ 1 
6. f : ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)@i
7. cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)@i
8. x : ConsensusState@i
9. \\%5 : (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) x@i
10. y : ConsensusState@i
11. \\%7 : (λa.<-1, ⊗>) ((λx,y. CR[x,y])^*) y@i
12. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
13. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((Inning(y;b) = Inning(x;b) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;b) = Estimate(x;b) ∈ i:ℤ fp-> V)))@i
14. ((Inning(y;a) = (Inning(x;a) + 1) ∈ ℤ) ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ∈ i:ℤ fp-> V))
∨ ((Inning(y;a) = Inning(x;a) ∈ ℤ)
  ∧ (¬(Inning(x;a) ∈ fpf-domain(Estimate(x;a))))
  ∧ (∃v:V
      (state x may consider v in inning Inning(x;a)
      ∧ (Estimate(y;a) = Estimate(x;a) ⊕ Inning(x;a) : v ∈ i:ℤ fp-> V))))@i
15. ||f x|| ≤ ||f y||
⊢ (||f y|| = (||f x|| + 1) ∈ ℤ) ∧ (f y[||f x||] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) supposing ||f x|| < ||f y||

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \{\mexists{}v1,v2:V.  (\mneg{}(v1  =  v2))\}@i
3.  A  :  Id  List@i
4.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
5.  ||W||  \mgeq{}  1 
6.  f  :  ConsensusState  {}\mrightarrow{}  (consensus-state3(V)  List)@i
7.  cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)@i
8.  x  :  ConsensusState@i
9.  \mbackslash{}\mbackslash{}\%5  :  (\mlambda{}a.<-1,  \motimes{}>)  rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR[x,y])  x@i
10.  y  :  ConsensusState@i
11.  \mbackslash{}\mbackslash{}\%7  :  (\mlambda{}a.<-1,  \motimes{}>)  rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR[x,y])  y@i
12.  CR[x,y]@i
13.  ||f  x||  \mleq{}  ||f  y||
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbZ{}
      ((\mforall{}j:\mBbbN{}||f  x||.  f  y[j]  =  f  x[j]  supposing  \mneg{}(j  =  i))
      \mwedge{}  (||f  y||  =  (||f  x||  +  1))  \mwedge{}  (f  y[||f  x||]  =  INITIAL)  supposing  ||f  x||  <  ||f  y||)


By

(D  -2  THEN  ExRepD  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}Inning(x;a)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  D  0)

---

Home Index