---

Step * 1 1 1 2 2 of Lemma es-cut-induction-ordered


1. [Info] : Type
2. es : EO+(Info)@i'
3. X : EClass(Top)@i'
4. f : sys-antecedent(es;X)@i
5. [P] : Cut(X;f) ─→ ℙ
6. ∃R:E(X) ─→ E(X) ─→ ℙ. (Linorder(E(X);x,y.R[x;y]) ∧ (∀x,y:E(X).  Dec(R[x;y])))@i'
7. P[{}]@i
8. ∀c:Cut(X;f). ∀e:E(X).
     (P[c] ⇒ (P[c+e]) supposing (prior(X)(e) ∈ c supposing ↑e ∈b prior(X) and f e ∈ c supposing ¬((f e) = e ∈ E(X))))@i
9. es-eq(es) ∈ EqDecider(E(X))
10. n : ℕ
11. ∀n:ℕn. ∀c:Cut(X;f).  ((||c|| ≤ n) ⇒ P[c])@i
12. c : Cut(X;f)@i
13. ||c|| ≤ n@i
14. ¬(c = {} ∈ fset(E(X)))
15. ∀e:E(X)
      (e ∈ c
      ⇒ (∀e':E(X). (e' ∈ c ⇒ (e = (X-pred e') ∈ E(X)) ⇒ (e' = e ∈ E(X))))
      ⇒ (∀e':E(X). (e' ∈ c ⇒ (e = (f e') ∈ E(X)) ⇒ (e' = e ∈ E(X))))
      ⇒ P[c])
⊢ P[c]
BY
{ (ExRepD
   THEN (InstLemma `fset-to-list` [⌈E(X)⌉;⌈es-eq(es)⌉;⌈R⌉;⌈c⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (Assert c = L ∈ Cut(X;f) BY
               (DVar `c'⋅
                THEN Unfold `es-cut` 0
                THEN EqTypeCD
                THEN Auto
                THEN Using [`eq',es-eq(es)] (BLemma `fset-extensionality`)⋅
                THEN Auto
                THEN Try ((FHyp (-3) [-1] THEN Auto THEN Unfold `fset-member` 0 THEN RW assert_pushdownC 0 THEN Auto))
                THEN BHyp (-3)
                THEN Auto
                THEN Unfold `fset-member` (-1)
                THEN RW assert_pushdownC (-1)
                THEN Auto))
   THEN (Eliminate ⌈c⌉⋅ THENA Auto)
   THEN ThinVar `c'
   THEN Thin (-1)) }

1
1. [Info] : Type
2. es : EO+(Info)@i'
3. X : EClass(Top)@i'
4. L : E(X) List
5. f : sys-antecedent(es;X)@i
6. [P] : Cut(X;f) ─→ ℙ
7. R : E(X) ─→ E(X) ─→ ℙ@i'
8. Linorder(E(X);x,y.R[x;y])@i'
9. ∀x,y:E(X).  Dec(R[x;y])@i'
10. P[{}]@i
11. ∀c:Cut(X;f). ∀e:E(X).
      (P[c] ⇒ (P[c+e]) supposing (prior(X)(e) ∈ c supposing ↑e ∈b prior(X) and f e ∈ c supposing ¬((f e) = e ∈ E(X))))
12. es-eq(es) ∈ EqDecider(E(X))
13. n : ℕ
14. ∀n:ℕn. ∀c:Cut(X;f).  ((||c|| ≤ n) ⇒ P[c])
15. ||L|| ≤ n
16. ¬(L = {} ∈ fset(E(X)))
17. ∀e:E(X)
      (e ∈ L
      ⇒ (∀e':E(X). (e' ∈ L ⇒ (e = (X-pred e') ∈ E(X)) ⇒ (e' = e ∈ E(X))))
      ⇒ (∀e':E(X). (e' ∈ L ⇒ (e = (f e') ∈ E(X)) ⇒ (e' = e ∈ E(X))))
      ⇒ P[L])
⊢ P[L]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [Info]  :  Type
2.  es  :  EO+(Info)@i'
3.  X  :  EClass(Top)@i'
4.  f  :  sys-antecedent(es;X)@i
5.  [P]  :  Cut(X;f)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mexists{}R:E(X)  {}\mrightarrow{}  E(X)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  (Linorder(E(X);x,y.R[x;y])  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:E(X).    Dec(R[x;y])))@i'
7.  P[\{\}]@i
8.  \mforall{}c:Cut(X;f).  \mforall{}e:E(X).
          (P[c]
          {}\mRightarrow{}  (P[c+e])  supposing 
                      (prior(X)(e)  \mmember{}  c  supposing  \muparrow{}e  \mmember{}\msubb{}  prior(X)  and 
                      f  e  \mmember{}  c  supposing  \mneg{}((f  e)  =  e)))@i
9.  es-eq(es)  \mmember{}  EqDecider(E(X))
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}c:Cut(X;f).    ((||c||  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  P[c])@i
12.  c  :  Cut(X;f)@i
13.  ||c||  \mleq{}  n@i
14.  \mneg{}(c  =  \{\})
15.  \mforall{}e:E(X)
            (e  \mmember{}  c
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e':E(X).  (e'  \mmember{}  c  {}\mRightarrow{}  (e  =  (X-pred  e'))  {}\mRightarrow{}  (e'  =  e)))
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e':E(X).  (e'  \mmember{}  c  {}\mRightarrow{}  (e  =  (f  e'))  {}\mRightarrow{}  (e'  =  e)))
            {}\mRightarrow{}  P[c])
\mvdash{}  P[c]


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (InstLemma  `fset-to-list`  [\mkleeneopen{}E(X)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es-eq(es)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}R\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (Assert  c  =  L  BY
                          (DVar  `c'\mcdot{}
                            THEN  Unfold  `es-cut`  0
                            THEN  EqTypeCD
                            THEN  Auto
                            THEN  Using  [`eq',es-eq(es)]  (BLemma  `fset-extensionality`)\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  Try  ((FHyp  (-3)  [-1]
                                                  THEN  Auto
                                                  THEN  Unfold  `fset-member`  0
                                                  THEN  RW  assert\_pushdownC  0
                                                  THEN  Auto))
                            THEN  BHyp  (-3)
                            THEN  Auto
                            THEN  Unfold  `fset-member`  (-1)
                            THEN  RW  assert\_pushdownC  (-1)
                            THEN  Auto))
  THEN  (Eliminate  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ThinVar  `c'
  THEN  Thin  (-1))

---

Home Index