---

Step * 1 2 1 2 1 1 of Lemma fpf-vals-singleton

.....truecase..... 
1. A : Type
2. eq : EqDecider(A)
3. B : A ─→ Type
4. P : A ─→ 𝔹
5. d : A List
6. f1 : x:{x:A| (x ∈ d)}  ─→ B[x]
7. a : A
8. ↑a ∈ dom(<d, f1>)
9. ∀b:A. (↑(P b) ⇐⇒ b = a ∈ A)
10. (a ∈ remove-repeats(eq;d)) ∧ no_repeats(A;remove-repeats(eq;d))
11. ∀L:A List. (no_repeats(A;L) ⇒ (filter(P;L) = if a ∈b L) then [a] else [] fi  ∈ (A List)))
12. filter(P;remove-repeats(eq;d)) = [a] ∈ (A List)
13. (a ∈ remove-repeats(eq;d))
⊢ filter(P;remove-repeats(eq;d)) = [a] ∈ ({x:A| (x ∈ d)}  List)
BY
{ (AssertBY (a ∈ d)
(AllHyps
  (\h. (Unfold `fpf-dom` h THEN Reduce h THEN RWO "assert-deq-member" h THEN Auto))))⋅ }

1
1. A : Type
2. eq : EqDecider(A)
3. B : A ─→ Type
4. P : A ─→ 𝔹
5. d : A List
6. f1 : x:{x:A| (x ∈ d)}  ─→ B[x]
7. a : A
8. ↑a ∈ dom(<d, f1>)
9. ∀b:A. (↑(P b) ⇐⇒ b = a ∈ A)
10. (a ∈ remove-repeats(eq;d)) ∧ no_repeats(A;remove-repeats(eq;d))
11. ∀L:A List. (no_repeats(A;L) ⇒ (filter(P;L) = if a ∈b L) then [a] else [] fi  ∈ (A List)))
12. filter(P;remove-repeats(eq;d)) = [a] ∈ (A List)
13. (a ∈ remove-repeats(eq;d))
14. (a ∈ d)
⊢ filter(P;remove-repeats(eq;d)) = [a] ∈ ({x:A| (x ∈ d)}  List)

---

Latex:


.....truecase..... 
1.  A  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(A)
3.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  P  :  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  d  :  A  List
6.  f1  :  x:\{x:A|  (x  \mmember{}  d)\}    {}\mrightarrow{}  B[x]
7.  a  :  A
8.  \muparrow{}a  \mmember{}  dom(<d,  f1>)
9.  \mforall{}b:A.  (\muparrow{}(P  b)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  b  =  a)
10.  (a  \mmember{}  remove-repeats(eq;d))  \mwedge{}  no\_repeats(A;remove-repeats(eq;d))
11.  \mforall{}L:A  List.  (no\_repeats(A;L)  {}\mRightarrow{}  (filter(P;L)  =  if  a  \mmember{}\msubb{}  L)  then  [a]  else  []  fi  ))
12.  filter(P;remove-repeats(eq;d))  =  [a]
13.  (a  \mmember{}  remove-repeats(eq;d))
\mvdash{}  filter(P;remove-repeats(eq;d))  =  [a]


By

(AssertBY  (a  \mmember{}  d)
(AllHyps
    (\mbackslash{}h.  (Unfold  `fpf-dom`  h  THEN  Reduce  h  THEN  RWO  "assert-deq-member"  h  THEN  Auto))))\mcdot{}

---

Home Index