---

Step * 1 2 1 1 1 1 of Lemma fresh-inning-reachable

.....equality..... 
1. V : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
5. x : ConsensusState@i
6. i : ℤ@i
7. (ws ∈ W)@i
8. (∀a∈ws.Inning(x;a) < i)
9. n : ℤ@i
10. 0 < n@i
11. x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) (λa.<if a ∈b firstn(n - 1;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>\000C)@i
12. n - 1 < ||A|| c∧ ((A[n - 1] ∈ ws) ∧ (¬(A[n - 1] ∈ firstn(n - 1;A))))
13. z : ConsensusState@i
14. (λa.<if a ∈b firstn(n - 1;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>) = z ∈ ConsensusState@i
⊢ (λa.<if a ∈b firstn(n;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>)
= (λb.if b = A[n - 1] then <i, Estimate(z;A[n - 1])> else z b fi )
∈ ConsensusState
BY
{ ((Unfold `consensus-state4` 0
    THEN (EqCD THENA Auto)
    THEN D -1
    THEN Unfold `consensus-state4` -3
    THEN RevHypSubst (-3) 0
    THEN Reduce 0)
   THENA (Fold `consensus-state4` (-1) THEN Auto)⋅
   ) }

1
1. V : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
5. x : ConsensusState@i
6. i : ℤ@i
7. (ws ∈ W)@i
8. (∀a∈ws.Inning(x;a) < i)
9. n : ℤ@i
10. 0 < n@i
11. x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) (λa.<if a ∈b firstn(n - 1;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>\000C)@i
12. n - 1 < ||A|| c∧ ((A[n - 1] ∈ ws) ∧ (¬(A[n - 1] ∈ firstn(n - 1;A))))
13. z : ConsensusState@i
14. (λa.<if a ∈b firstn(n - 1;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>)
= z
∈ ({a:Id| (a ∈ A)}  ─→ (ℤ × j:ℤ fp-> V))@i
15. a : Id@i
16. (a ∈ A)@i
⊢ <if a ∈b firstn(n;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>
= if a = A[n - 1]
  then <i, Estimate(λa.<if a ∈b firstn(n - 1;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>;A[n - 1])>
  else <if a ∈b firstn(n - 1;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>
  fi 
∈ (ℤ × j:ℤ fp-> V)

---

Latex:


.....equality..... 
1.  V  :  Type
2.  A  :  Id  List@i
3.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
4.  ws  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
5.  x  :  ConsensusState@i
6.  i  :  \mBbbZ{}@i
7.  (ws  \mmember{}  W)@i
8.  (\mforall{}a\mmember{}ws.Inning(x;a)  <  i)
9.  n  :  \mBbbZ{}@i
10.  0  <  n@i
11.  x 
        rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR(in  ws)[x,  y]  ) 
        (\mlambda{}a.<if  a  \mmember{}\msubb{}  firstn(n  -  1;A))  \mwedge{}\msubb{}  a  \mmember{}\msubb{}  ws)  then  i  else  Inning(x;a)  fi  ,  Estimate(x;a)>)@i
12.  n  -  1  <  ||A||  c\mwedge{}  ((A[n  -  1]  \mmember{}  ws)  \mwedge{}  (\mneg{}(A[n  -  1]  \mmember{}  firstn(n  -  1;A))))
13.  z  :  ConsensusState@i
14.  (\mlambda{}a.<if  a  \mmember{}\msubb{}  firstn(n  -  1;A))  \mwedge{}\msubb{}  a  \mmember{}\msubb{}  ws)  then  i  else  Inning(x;a)  fi  ,  Estimate(x;a)>)  =  z@i
\mvdash{}  (\mlambda{}a.<if  a  \mmember{}\msubb{}  firstn(n;A))  \mwedge{}\msubb{}  a  \mmember{}\msubb{}  ws)  then  i  else  Inning(x;a)  fi  ,  Estimate(x;a)>)
=  (\mlambda{}b.if  b  =  A[n  -  1]  then  <i,  Estimate(z;A[n  -  1])>  else  z  b  fi  )


By

((Unfold  `consensus-state4`  0
    THEN  (EqCD  THENA  Auto)
    THEN  D  -1
    THEN  Unfold  `consensus-state4`  -3
    THEN  RevHypSubst  (-3)  0
    THEN  Reduce  0)
  THENA  (Fold  `consensus-state4`  (-1)  THEN  Auto)\mcdot{}
  )

---

Home Index