---

Step * 1 of Lemma fresh-inning-reachable

.....assertion..... 
1. [V] : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
5. x : ConsensusState@i
6. i : ℤ@i
7. (ws ∈ W)@i
8. (∀a∈ws.Inning(x;a) < i)
⊢ ∀n:ℕ. (x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) (λa.<if a ∈b firstn(n;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)\000C>))
BY
{ InductionOnNat }

1
.....basecase..... 
1. [V] : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
5. x : ConsensusState@i
6. i : ℤ@i
7. (ws ∈ W)@i
8. (∀a∈ws.Inning(x;a) < i)
⊢ x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) (λa.<if a ∈b firstn(0;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>)

2
.....upcase..... 
1. [V] : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
5. x : ConsensusState@i
6. i : ℤ@i
7. (ws ∈ W)@i
8. (∀a∈ws.Inning(x;a) < i)
9. n : ℤ@i
10. \\%3 : 0 < n@i
11. x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) (λa.<if a ∈b firstn(n - 1;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>\000C)@i
⊢ x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) (λa.<if a ∈b firstn(n;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>)

3
.....wf..... 
1. V : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
5. x : ConsensusState@i
6. i : ℤ@i
7. (ws ∈ W)@i
8. (∀a∈ws.Inning(x;a) < i)
9. n : ℤ@i
10. 0 < n@i
⊢ x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) (λa.<if a ∈b firstn(n - 1;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>) \000C∈ ℙ

4
.....wf..... 
1. V : Type
2. A : Id List@i
3. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
4. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
5. x : ConsensusState@i
6. i : ℤ@i
7. (ws ∈ W)@i
8. (∀a∈ws.Inning(x;a) < i)
9. n : ℕ@i
10. x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) (λa.<if a ∈b firstn(0;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>)
11. ∀n:{n:ℤ| 0 < n} 
      ((x 
        ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) 
        (λa.<if a ∈b firstn(n - 1;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>))
      ⇒ (x 
          ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) 
          (λa.<if a ∈b firstn(n;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>)))
⊢ λn.(x ((λx,y. CR(in ws)[x, y] )^*) (λa.<if a ∈b firstn(n;A)) ∧b a ∈b ws) then i else Inning(x;a) fi , Estimate(x;a)>))\000C ∈ ℕ
  ─→ ℙ

---

Latex:


.....assertion..... 
1.  [V]  :  Type
2.  A  :  Id  List@i
3.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
4.  ws  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
5.  x  :  ConsensusState@i
6.  i  :  \mBbbZ{}@i
7.  (ws  \mmember{}  W)@i
8.  (\mforall{}a\mmember{}ws.Inning(x;a)  <  i)
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}
        (x 
          rel\_star(ConsensusState;  \mlambda{}x,y.  CR(in  ws)[x,  y]  ) 
          (\mlambda{}a.<if  a  \mmember{}\msubb{}  firstn(n;A))  \mwedge{}\msubb{}  a  \mmember{}\msubb{}  ws)  then  i  else  Inning(x;a)  fi  ,  Estimate(x;a)>))


By

InductionOnNat

---

Home Index