---

Step * 2 2 1 1 2 2 1 of Lemma global-order-compat-combine


1. Info : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. ys : (Id × Info) List@i
4. y : Id × Info@i
5. L1 || ys @ [y]@i
6. L : (Id × Info) List@i
7. L1 ≤ L@i
8. f : ℕ||ys|| ─→ ℕ||L||@i
9. ∀i,j:ℕ||ys||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||))@i
10. ∀j:ℕ||ys||
      ((ys[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
      ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn(j + 1;ys))
        = filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn((f j) + 1;L))
        ∈ ((Id × Info) List)))@i
11. ∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys||. (x = (f i) ∈ ℤ)))@i
12. ys ≤ L, locally@i
13. ∀i:Id
      ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
      ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;ys) ∈ ((Id × Info) List)))@i
14. ||filter(λx.fst(x) = fst(y);L1)|| ≤ ||filter(λx.fst(x) = fst(y);ys)||
15. filter(λx.fst(x) = fst(y);ys) = filter(λx.fst(x) = fst(y);L) ∈ ((Id × Info) List)
16. L1 ≤ L @ [y]
17. j : ℕ||ys @ [y]||@i
18. j < ||ys||
⊢ (ys[j] = if f j <z ||L|| then L[f j] else [y][(f j) - ||L||] fi  ∈ (Id × Info))
∧ (filter(λx@0.fst(x@0) = fst(ys[j]);firstn(j + 1;ys @ [y]))
  = filter(λx@0.fst(x@0) = fst(ys[j]);firstn((f j) + 1;L @ [y]))
  ∈ ((Id × Info) List))
BY
{ (Subst' f j <z ||L|| ~ tt 0 THEN Reduce 0 THEN Auto) }

1
1. Info : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. ys : (Id × Info) List@i
4. y : Id × Info@i
5. L1 || ys @ [y]@i
6. L : (Id × Info) List@i
7. L1 ≤ L@i
8. f : ℕ||ys|| ─→ ℕ||L||@i
9. ∀i,j:ℕ||ys||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||))@i
10. ∀j:ℕ||ys||
      ((ys[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
      ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn(j + 1;ys))
        = filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn((f j) + 1;L))
        ∈ ((Id × Info) List)))@i
11. ∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys||. (x = (f i) ∈ ℤ)))@i
12. ys ≤ L, locally@i
13. ∀i:Id
      ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
      ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;ys) ∈ ((Id × Info) List)))@i
14. ||filter(λx.fst(x) = fst(y);L1)|| ≤ ||filter(λx.fst(x) = fst(y);ys)||
15. filter(λx.fst(x) = fst(y);ys) = filter(λx.fst(x) = fst(y);L) ∈ ((Id × Info) List)
16. L1 ≤ L @ [y]
17. j : ℕ||ys @ [y]||@i
18. j < ||ys||
19. ys[j] = L[f j] ∈ (Id × Info)
⊢ filter(λx@0.fst(x@0) = fst(ys[j]);firstn(j + 1;ys @ [y]))
= filter(λx@0.fst(x@0) = fst(ys[j]);firstn((f j) + 1;L @ [y]))
∈ ((Id × Info) List)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  L1  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
3.  ys  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
4.  y  :  Id  \mtimes{}  Info@i
5.  L1  ||  ys  @  [y]@i
6.  L  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
7.  L1  \mleq{}  L@i
8.  f  :  \mBbbN{}||ys||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||@i
9.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}||ys||.    (i  <  j  {}\mRightarrow{}  (f  i  <  f  j  \mvee{}  f  j  <  ||L1||))@i
10.  \mforall{}j:\mBbbN{}||ys||
            ((ys[j]  =  L[f  j])
            \mwedge{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys[j]);firstn(j  +  1;ys))
                =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys[j]);firstn((f  j)  +  1;L))))@i
11.  \mforall{}x:\mBbbN{}||L||.  (x  <  ||L1||  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}||ys||.  (x  =  (f  i))))@i
12.  ys  \mleq{}  L,  locally@i
13.  \mforall{}i:Id
            ((filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L1))
            \mvee{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;ys)))@i
14.  ||filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(y);L1)||  \mleq{}  ||filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(y);ys)||
15.  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(y);ys)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(y);L)
16.  L1  \mleq{}  L  @  [y]
17.  j  :  \mBbbN{}||ys  @  [y]||@i
18.  j  <  ||ys||
\mvdash{}  (ys[j]  =  if  f  j  <z  ||L||  then  L[f  j]  else  [y][(f  j)  -  ||L||]  fi  )
\mwedge{}  (filter(\mlambda{}x@0.fst(x@0)  =  fst(ys[j]);firstn(j  +  1;ys  @  [y]))
    =  filter(\mlambda{}x@0.fst(x@0)  =  fst(ys[j]);firstn((f  j)  +  1;L  @  [y])))


By

---

Latex:
(Subst'  f  j  <z  ||L||  \msim{}  tt  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)

---

Home Index