---

Step * 2 2 1 1 2 3 of Lemma global-order-compat-combine


1. [Info] : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. ys : (Id × Info) List@i
4. y : Id × Info@i
5. L1 || ys @ [y]@i
6. L : (Id × Info) List@i
7. L1 ≤ L@i
8. f : ℕ||ys|| ─→ ℕ||L||@i
9. ∀i,j:ℕ||ys||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||))@i
10. ∀j:ℕ||ys||
      ((ys[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
      ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn(j + 1;ys))
        = filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn((f j) + 1;L))
        ∈ ((Id × Info) List)))@i
11. ∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys||. (x = (f i) ∈ ℤ)))@i
12. ys ≤ L, locally@i
13. ∀i:Id
      ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
      ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;ys) ∈ ((Id × Info) List)))@i
14. ||filter(λx.fst(x) = fst(y);L1)|| ≤ ||filter(λx.fst(x) = fst(y);ys)||
15. filter(λx.fst(x) = fst(y);ys) = filter(λx.fst(x) = fst(y);L) ∈ ((Id × Info) List)
16. L1 ≤ L @ [y]
17. ∃f:ℕ||ys @ [y]|| ─→ ℕ||L @ [y]||
     ((∀i,j:ℕ||ys @ [y]||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||)))
     ∧ (∀j:ℕ||ys @ [y]||
          ((ys @ [y][j] = L @ [y][f j] ∈ (Id × Info))
          ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys @ [y][j]);firstn(j + 1;ys @ [y]))
            = filter(λx.fst(x) = fst(ys @ [y][j]);firstn((f j) + 1;L @ [y]))
            ∈ ((Id × Info) List))))
     ∧ (∀x:ℕ||L @ [y]||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys @ [y]||. (x = (f i) ∈ ℤ)))))
⊢ ys @ [y] ≤ L @ [y], locally
BY
{ (RepeatFor 2 (ParallelOp -6)
   THEN (RWO "filter_append_sq" 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN AutoSplit
   THEN RWW "append-nil" 0
   THEN Auto) }

1
1. [Info] : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. ys : (Id × Info) List@i
4. y : Id × Info@i
5. L1 || ys @ [y]@i
6. L : (Id × Info) List@i
7. L1 ≤ L@i
8. f : ℕ||ys|| ─→ ℕ||L||@i
9. ∀i,j:ℕ||ys||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||))@i
10. ∀j:ℕ||ys||
      ((ys[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
      ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn(j + 1;ys))
        = filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn((f j) + 1;L))
        ∈ ((Id × Info) List)))@i
11. ∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys||. (x = (f i) ∈ ℤ)))@i
12. ∀i:Id. filter(λx.fst(x) = i;ys) ≤ filter(λx.fst(x) = i;L)@i
13. ∀i:Id
      ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
      ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;ys) ∈ ((Id × Info) List)))@i
14. ||filter(λx.fst(x) = fst(y);L1)|| ≤ ||filter(λx.fst(x) = fst(y);ys)||
15. filter(λx.fst(x) = fst(y);ys) = filter(λx.fst(x) = fst(y);L) ∈ ((Id × Info) List)
16. L1 ≤ L @ [y]
17. ∃f:ℕ||ys @ [y]|| ─→ ℕ||L @ [y]||
     ((∀i,j:ℕ||ys @ [y]||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||)))
     ∧ (∀j:ℕ||ys @ [y]||
          ((ys @ [y][j] = L @ [y][f j] ∈ (Id × Info))
          ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys @ [y][j]);firstn(j + 1;ys @ [y]))
            = filter(λx.fst(x) = fst(ys @ [y][j]);firstn((f j) + 1;L @ [y]))
            ∈ ((Id × Info) List))))
     ∧ (∀x:ℕ||L @ [y]||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys @ [y]||. (x = (f i) ∈ ℤ)))))
18. i : Id@i
19. filter(λx.fst(x) = i;ys) ≤ filter(λx.fst(x) = i;L)
20. (fst(y)) = i ∈ Id
⊢ filter(λx.fst(x) = i;ys) @ [y] ≤ filter(λx.fst(x) = i;L) @ [y]

---

Latex:

---

Latex:

1.  [Info]  :  Type
2.  L1  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
3.  ys  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
4.  y  :  Id  \mtimes{}  Info@i
5.  L1  ||  ys  @  [y]@i
6.  L  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
7.  L1  \mleq{}  L@i
8.  f  :  \mBbbN{}||ys||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||@i
9.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}||ys||.    (i  <  j  {}\mRightarrow{}  (f  i  <  f  j  \mvee{}  f  j  <  ||L1||))@i
10.  \mforall{}j:\mBbbN{}||ys||
            ((ys[j]  =  L[f  j])
            \mwedge{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys[j]);firstn(j  +  1;ys))
                =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys[j]);firstn((f  j)  +  1;L))))@i
11.  \mforall{}x:\mBbbN{}||L||.  (x  <  ||L1||  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}||ys||.  (x  =  (f  i))))@i
12.  ys  \mleq{}  L,  locally@i
13.  \mforall{}i:Id
            ((filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L1))
            \mvee{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;ys)))@i
14.  ||filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(y);L1)||  \mleq{}  ||filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(y);ys)||
15.  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(y);ys)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(y);L)
16.  L1  \mleq{}  L  @  [y]
17.  \mexists{}f:\mBbbN{}||ys  @  [y]||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L  @  [y]||
          ((\mforall{}i,j:\mBbbN{}||ys  @  [y]||.    (i  <  j  {}\mRightarrow{}  (f  i  <  f  j  \mvee{}  f  j  <  ||L1||)))
          \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}||ys  @  [y]||
                    ((ys  @  [y][j]  =  L  @  [y][f  j])
                    \mwedge{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys  @  [y][j]);firstn(j  +  1;ys  @  [y]))
                        =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys  @  [y][j]);firstn((f  j)  +  1;L  @  [y])))))
          \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbN{}||L  @  [y]||.  (x  <  ||L1||  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}||ys  @  [y]||.  (x  =  (f  i))))))
\mvdash{}  ys  @  [y]  \mleq{}  L  @  [y],  locally


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (ParallelOp  -6)
  THEN  (RWO  "filter\_append\_sq"  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  AutoSplit
  THEN  RWW  "append-nil"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index