Step
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1
1
of Lemma
iterated_classrel_progress
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ (∀v1,v2:S.
(single-valued-classrel(es;X;A)
⇒ (∀a:A. ∀s:S. Dec(P[a;s]))
⇒ (∀x,y:S. SqStable(R[x;y]))
⇒ Trans(S;x,y.R[x;y])
⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ (e1 <loc e')
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ (((∃e:E
∃s:S
((e1 <loc e)
∧ e ≤loc e'
∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e'
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
13. v1 : S@i
14. v2 : S@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. ∀a:A. ∀s:S. Dec(P[a;s])@i
17. ∀x,y:S. SqStable(R[x;y])@i
18. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e2
⇒ a ∈ X(e)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
21. (e1 <loc e2)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. (∃e:E
∃s:S
((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2) ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;z]
29. (∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc pred(e2)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = z ∈ S)
30. ∃e:E
∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2 ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s])))@i
⊢ R[v1;v2]
BY
{ (ExRepD THEN D (-5)) }
1
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ (∀v1,v2:S.
(single-valued-classrel(es;X;A)
⇒ (∀a:A. ∀s:S. Dec(P[a;s]))
⇒ (∀x,y:S. SqStable(R[x;y]))
⇒ Trans(S;x,y.R[x;y])
⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ (e1 <loc e')
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ (((∃e:E
∃s:S
((e1 <loc e)
∧ e ≤loc e'
∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e'
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
13. v1 : S@i
14. v2 : S@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. ∀a:A. ∀s:S. Dec(P[a;s])@i
17. ∀x,y:S. SqStable(R[x;y])@i
18. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e2
⇒ a ∈ X(e)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
21. (e1 <loc e2)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. (∃e:E
∃s:S
((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2) ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;z]
29. (∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc pred(e2)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = z ∈ S)
30. e : E@i
31. s : S@i
32. (e1 <loc e)@i
33. (e <loc e2)@i
34. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)@i
35. a : A@i
36. a ∈ X(e)@i
37. P[a;s]@i
⊢ R[v1;v2]
2
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ (∀v1,v2:S.
(single-valued-classrel(es;X;A)
⇒ (∀a:A. ∀s:S. Dec(P[a;s]))
⇒ (∀x,y:S. SqStable(R[x;y]))
⇒ Trans(S;x,y.R[x;y])
⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ (e1 <loc e')
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ (((∃e:E
∃s:S
((e1 <loc e)
∧ e ≤loc e'
∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e'
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
13. v1 : S@i
14. v2 : S@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. ∀a:A. ∀s:S. Dec(P[a;s])@i
17. ∀x,y:S. SqStable(R[x;y])@i
18. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e2
⇒ a ∈ X(e)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
21. (e1 <loc e2)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. (∃e:E
∃s:S
((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2) ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;z]
29. (∀e:E. ∀s:S.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc pred(e2)
⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = z ∈ S)
30. e : E@i
31. s : S@i
32. (e1 <loc e)@i
33. e = e2 ∈ E@i
34. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)@i
35. a : A@i
36. a ∈ X(e)@i
37. P[a;s]@i
⊢ R[v1;v2]
Latex:
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id {}\mrightarrow{} bag(S)
5. f : A {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} \mBbbP{}@i'
9. P : A {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} \mBbbP{}@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. \mforall{}e':E
((e' < e2)
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{}\mRightarrow{} (e1 <loc e')
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{}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. ((\mneg{}a \mmember{} X(e)) \mvee{} (\mneg{}P[a;s])))))
{}\mRightarrow{} (v1 = v2))))))
13. v1 : S@i
14. v2 : S@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. \mforall{}a:A. \mforall{}s:S. Dec(P[a;s])@i
17. \mforall{}x,y:S. SqStable(R[x;y])@i
18. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
19. \mforall{}a:A. \mforall{}e:E. \mforall{}s:S.
((e1 <loc e)
{}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2
{}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e)
{}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
{}\mRightarrow{} ((P[a;s] {}\mRightarrow{} R[s;f a s]) \mwedge{} ((\mneg{}P[a;s]) {}\mRightarrow{} (s = (f a s)))))@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
21. (e1 <loc e2)@i
22. iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. (\mexists{}a:A. (a \mmember{} X(e2) \mwedge{} (v2 = (f a z)))) \mvee{} ((\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e2))) \mwedge{} (v2 = z))@i
26. \mneg{}\muparrow{}first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. (\mexists{}e:E
\mexists{}s:S
((e1 <loc e)
\mwedge{} e \mleq{}loc pred(e2)
\mwedge{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
\mwedge{} (\mexists{}a:A. (a \mmember{} X(e) \mwedge{} P[a;s]))))
{}\mRightarrow{} R[v1;z]
29. (\mforall{}e:E. \mforall{}s:S.
((e1 <loc e)
{}\mRightarrow{} e \mleq{}loc pred(e2)
{}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
{}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. ((\mneg{}a \mmember{} X(e)) \mvee{} (\mneg{}P[a;s])))))
{}\mRightarrow{} (v1 = z)
30. \mexists{}e:E
\mexists{}s:S
((e1 <loc e)
\mwedge{} e \mleq{}loc e2
\mwedge{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
\mwedge{} (\mexists{}a:A. (a \mmember{} X(e) \mwedge{} P[a;s])))@i
\mvdash{} R[v1;v2]
By
(ExRepD THEN D (-5))
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