Nuprl Lemma : iterated_classrel_progress

[Info,A,S:Type]. ∀[init:Id ─→ bag(S)]. ∀[f:A ─→ S ─→ S]. ∀[X:EClass(A)].
  ∀es:EO+(Info). ∀R:S ─→ S ─→ ℙ. ∀P:A ─→ S ─→ ℙ. ∀e1,e2:E. ∀v1,v2:S.
    (single-valued-classrel(es;X;A)
     (∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s]))
     (∀x,y:S.  SqStable(R[x;y]))
     Trans(S;x,y.R[x;y])
     (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
          ((e1 <loc e)
           e ≤loc e2 
           a ∈ X(e)
           iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
           ((P[a;s]  R[s;f s]) ∧ ((¬P[a;s])  (s (f s) ∈ S)))))
     single-valued-bag(init loc(e1);S)
     (e1 <loc e2)
     iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
     iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
     (((∃e:E
           ∃s:S
            ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
        R[v1;v2])
       ∧ ((∀e:E. ∀s:S.
             ((e1 <loc e)
              e ≤loc e2 
              iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
              (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ P[a;s])))))
          (v1 v2 ∈ S))))


Proof




Definitions occuring in Statement :  iterated_classrel: iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;v) single-valued-classrel: single-valued-classrel(es;X;T) classrel: v ∈ X(e) eclass: EClass(A[eo; e]) event-ordering+: EO+(Info) es-le: e ≤loc e'  es-locl: (e <loc e') es-pred: pred(e) es-loc: loc(e) es-E: E Id: Id trans: Trans(T;x,y.E[x; y]) sq_stable: SqStable(P) decidable: Dec(P) uall: [x:A]. B[x] prop: so_apply: x[s1;s2] all: x:A. B[x] exists: x:A. B[x] not: ¬A implies:  Q or: P ∨ Q and: P ∧ Q apply: a function: x:A ─→ B[x] universe: Type equal: t ∈ T single-valued-bag: single-valued-bag(b;T) bag: bag(T)
Lemmas :  es-pred_wf event-ordering+_subtype es-pred-locl es-causl_weakening es-locl_transitivity1 es-le_weakening not_wf iterated_classrel_wf assert_elim es-first_wf2 es-locl-first btrue_neq_bfalse assert_wf classrel_wf es-le_wf es-locl_wf es-E_wf exists_wf all_wf or_wf es-le-pred es-le-self and_wf member_wf equal_wf decidable__exists-iterated-classrel-between3-sv squash_wf event_ordering_wf iterated_classrel-single-val es-loc-pred Id_wf bag_wf single-valued-bag_wf true_wf event-ordering+_wf eclass_wf iff_weakening_equal es-pred_property es-locl_transitivity2 es-le_weakening_eq es-locl_irreflexivity es-causl_transitivity2 es-causle_weakening es-causl_irreflexivity
\mforall{}[Info,A,S:Type].  \mforall{}[init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)].  \mforall{}[f:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S].  \mforall{}[X:EClass(A)].
    \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}R:S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}P:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}e1,e2:E.  \mforall{}v1,v2:S.
        (single-valued-classrel(es;X;A)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}s:S.    Dec(P[a;s]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:S.    SqStable(R[x;y]))
        {}\mRightarrow{}  Trans(S;x,y.R[x;y])
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
                    ((e1  <loc  e)
                    {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
                    {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                    {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                    {}\mRightarrow{}  ((P[a;s]  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])  \mwedge{}  ((\mneg{}P[a;s])  {}\mRightarrow{}  (s  =  (f  a  s))))))
        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
        {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e2)
        {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
        {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
        {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E
                      \mexists{}s:S
                        ((e1  <loc  e)
                        \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2 
                        \mwedge{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                        \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[a;s]))))
              {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
              \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
                          ((e1  <loc  e)
                          {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
                          {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  ((\mneg{}a  \mmember{}  X(e))  \mvee{}  (\mneg{}P[a;s])))))
                  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))



Date html generated: 2015_07_17-PM-00_25_01
Last ObjectModification: 2015_02_04-PM-05_39_19

Home Index