---

Step * 1 1 2 of Lemma iterated_classrel_progress


1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ (∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s]))
            ⇒ (∀x,y:S.  SqStable(R[x;y]))
            ⇒ Trans(S;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e' 
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                  ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃s:S
                    ((e1 <loc e)
                    ∧ e ≤loc e' 
                    ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                    ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:S.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e' 
                     ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
13. v1 : S@i
14. v2 : S@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. ∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s])@i
17. ∀x,y:S.  SqStable(R[x;y])@i
18. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2 
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
21. (e1 <loc e2)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. (∃e:E
      ∃s:S
       ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;z]
29. (∀e:E. ∀s:S.
       ((e1 <loc e)
       ⇒ e ≤loc pred(e2) 
       ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
       ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = z ∈ S)
30. e : E@i
31. s : S@i
32. (e1 <loc e)@i
33. e = e2 ∈ E@i
34. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)@i
35. a : A@i
36. a ∈ X(e)@i
37. P[a;s]@i
⊢ R[v1;v2]
BY
{ (D (-13)
   THEN Try (Complete ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto)))
   THEN (InstLemma `decidable__exists-iterated-classrel-between3-sv` [⌈Info⌉;⌈A⌉;⌈S⌉;⌈init⌉;⌈f⌉;⌈X⌉;⌈es⌉;⌈P⌉;⌈e1⌉;
         ⌈pred(e2)⌉]⋅
         THENA Auto
         )
   THEN D (-1)) }

1
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ (∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s]))
            ⇒ (∀x,y:S.  SqStable(R[x;y]))
            ⇒ Trans(S;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e' 
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                  ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃s:S
                    ((e1 <loc e)
                    ∧ e ≤loc e' 
                    ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                    ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:S.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e' 
                     ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
13. v1 : S@i
14. v2 : S@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. ∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s])@i
17. ∀x,y:S.  SqStable(R[x;y])@i
18. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2 
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
21. (e1 <loc e2)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. ∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. (∃e:E
      ∃s:S
       ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;z]
29. (∀e:E. ∀s:S.
       ((e1 <loc e)
       ⇒ e ≤loc pred(e2) 
       ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
       ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = z ∈ S)
30. e : E@i
31. s : S@i
32. (e1 <loc e)@i
33. e = e2 ∈ E@i
34. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)@i
35. a : A@i
36. a ∈ X(e)@i
37. P[a;s]@i
38. ∃e:E
     ∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:A. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s])))
⊢ R[v1;v2]

2
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ (∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s]))
            ⇒ (∀x,y:S.  SqStable(R[x;y]))
            ⇒ Trans(S;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e' 
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                  ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃s:S
                    ((e1 <loc e)
                    ∧ e ≤loc e' 
                    ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                    ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:S.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e' 
                     ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
13. v1 : S@i
14. v2 : S@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. ∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s])@i
17. ∀x,y:S.  SqStable(R[x;y])@i
18. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2 
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
21. (e1 <loc e2)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. ∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. (∃e:E
      ∃s:S
       ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;z]
29. (∀e:E. ∀s:S.
       ((e1 <loc e)
       ⇒ e ≤loc pred(e2) 
       ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
       ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = z ∈ S)
30. e : E@i
31. s : S@i
32. (e1 <loc e)@i
33. e = e2 ∈ E@i
34. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)@i
35. a : A@i
36. a ∈ X(e)@i
37. P[a;s]@i
38. ¬(∃e:E
       ∃s:S
        ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:A. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s]))))
⊢ R[v1;v2]

---

Latex:



1.  Info  :  Type
2.  A  :  Type
3.  S  :  Type
4.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S
6.  X  :  EClass(A)
7.  es  :  EO+(Info)@i'
8.  R  :  S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
9.  P  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
10.  e1  :  E@i
11.  e2  :  E@i
12.  \mforall{}e':E
            ((e'  <  e2)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v1,v2:S.
                        (single-valued-classrel(es;X;A)
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}s:S.    Dec(P[a;s]))
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:S.    SqStable(R[x;y]))
                        {}\mRightarrow{}  Trans(S;x,y.R[x;y])
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
                                    ((e1  <loc  e)
                                    {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e' 
                                    {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                                    {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                                    {}\mRightarrow{}  ((P[a;s]  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])  \mwedge{}  ((\mneg{}P[a;s])  {}\mRightarrow{}  (s  =  (f  a  s))))))
                        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
                        {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e')
                        {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
                        {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
                        {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E
                                      \mexists{}s:S
                                        ((e1  <loc  e)
                                        \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e' 
                                        \mwedge{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                                        \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[a;s]))))
                              {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
                              \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
                                          ((e1  <loc  e)
                                          {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e' 
                                          {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                                          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  ((\mneg{}a  \mmember{}  X(e))  \mvee{}  (\mneg{}P[a;s])))))
                                  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))))
13.  v1  :  S@i
14.  v2  :  S@i
15.  single-valued-classrel(es;X;A)@i
16.  \mforall{}a:A.  \mforall{}s:S.    Dec(P[a;s])@i
17.  \mforall{}x,y:S.    SqStable(R[x;y])@i
18.  Trans(S;x,y.R[x;y])@i
19.  \mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
            ((e1  <loc  e)
            {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
            {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
            {}\mRightarrow{}  ((P[a;s]  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])  \mwedge{}  ((\mneg{}P[a;s])  {}\mRightarrow{}  (s  =  (f  a  s)))))@i
20.  single-valued-bag(init  loc(e1);S)@i
21.  (e1  <loc  e2)@i
22.  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23.  z  :  S@i
24.  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25.  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e2)  \mwedge{}  (v2  =  (f  a  z))))  \mvee{}  ((\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e2)))  \mwedge{}  (v2  =  z))@i
26.  \mneg{}\muparrow{}first(e2)
27.  (e1  <loc  pred(e2))
28.  (\mexists{}e:E
            \mexists{}s:S
              ((e1  <loc  e)
              \mwedge{}  e  \mleq{}loc  pred(e2) 
              \mwedge{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
              \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[a;s]))))
{}\mRightarrow{}  R[v1;z]
29.  (\mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
              ((e1  <loc  e)
              {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  pred(e2) 
              {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  ((\mneg{}a  \mmember{}  X(e))  \mvee{}  (\mneg{}P[a;s])))))
{}\mRightarrow{}  (v1  =  z)
30.  e  :  E@i
31.  s  :  S@i
32.  (e1  <loc  e)@i
33.  e  =  e2@i
34.  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)@i
35.  a  :  A@i
36.  a  \mmember{}  X(e)@i
37.  P[a;s]@i
\mvdash{}  R[v1;v2]


By

(D  (-13)
  THEN  Try  (Complete  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)))
  THEN  (InstLemma  `decidable\_\_exists-iterated-classrel-between3-sv`  [\mkleeneopen{}Info\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}S\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}init\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};
              \mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}P\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}pred(e2)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  D  (-1))

---

Home Index