---

Step * 1 1 of Lemma iterated_classrel_trans3


1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. single-valued-classrel(es;X;A)@i
9. R : S ─→ S ─→ ℙ
10. ∀x,y:S.  SqStable(R[x;y])@i
11. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
12. e1 : E@i
13. e2 : E@i
14. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
      ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v1,v2:S.
            (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
15. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. (e1 <loc e2)@i
18. v1 : S@i
19. v2 : S@i
20. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
21. z : S@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
23. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
24. ¬↑first(e2)
25. (e1 <loc pred(e2))
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))
BY
{ ((InstHyp [⌈pred(e2)⌉;⌈v1⌉;⌈z⌉] (-12)⋅ THENA (Auto THEN InstHyp [⌈a⌉;⌈e⌉] (-18)⋅ THEN Auto)) THEN Auto) }

1
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. single-valued-classrel(es;X;A)@i
9. R : S ─→ S ─→ ℙ
10. ∀x,y:S.  SqStable(R[x;y])@i
11. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
12. e1 : E@i
13. e2 : E@i
14. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
      ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v1,v2:S.
            (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
15. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. (e1 <loc e2)@i
18. v1 : S@i
19. v2 : S@i
20. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
21. z : S@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
23. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
24. ¬↑first(e2)
25. (e1 <loc pred(e2))
26. (∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;z]
27. (∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc pred(e2)  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = z ∈ S)
28. ∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))@i
⊢ R[v1;v2]

2
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. single-valued-classrel(es;X;A)@i
9. R : S ─→ S ─→ ℙ
10. ∀x,y:S.  SqStable(R[x;y])@i
11. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
12. e1 : E@i
13. e2 : E@i
14. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
      ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v1,v2:S.
            (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
15. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. (e1 <loc e2)@i
18. v1 : S@i
19. v2 : S@i
20. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
21. z : S@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
23. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
24. ¬↑first(e2)
25. (e1 <loc pred(e2))
26. (∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;z]
27. (∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc pred(e2)  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = z ∈ S)
28. (∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2]
29. ∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))@i
⊢ v1 = v2 ∈ S

---

Latex:



1.  Info  :  Type
2.  A  :  Type
3.  S  :  Type
4.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S
6.  X  :  EClass(A)
7.  es  :  EO+(Info)@i'
8.  single-valued-classrel(es;X;A)@i
9.  R  :  S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
10.  \mforall{}x,y:S.    SqStable(R[x;y])@i
11.  Trans(S;x,y.R[x;y])@i
12.  e1  :  E@i
13.  e2  :  E@i
14.  \mforall{}e':E
            ((e'  <  e2)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
                        ((e1  <loc  e)
                        {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e' 
                        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:S.  (iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s]))))
            {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
            {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e')
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v1,v2:S.
                        (iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
                        {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
                        {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E.  ((e1  <loc  e)  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e'    \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))  {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
                              \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  ((e1  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e'    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e)))))  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))))
15.  \mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
            ((e1  <loc  e)
            {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
            {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:S.  (iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])))@i
16.  single-valued-bag(init  loc(e1);S)@i
17.  (e1  <loc  e2)@i
18.  v1  :  S@i
19.  v2  :  S@i
20.  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
21.  z  :  S@i
22.  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
23.  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e2)  \mwedge{}  (v2  =  (f  a  z))))  \mvee{}  ((\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e2)))  \mwedge{}  (v2  =  z))@i
24.  \mneg{}\muparrow{}first(e2)
25.  (e1  <loc  pred(e2))
\mvdash{}  ((\mexists{}e:E.  ((e1  <loc  e)  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2    \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))  {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
\mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  ((e1  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e)))))  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))


By

((InstHyp  [\mkleeneopen{}pred(e2)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]  (-12)\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]  (-18)\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  Auto
  )

---

Home Index