---

Step * 2 1 of Lemma loop-class-memory-eq


1. Info : Type
2. B : Type
3. X : EClass(B ─→ B)
4. init : Id ─→ bag(B)
5. es : EO+(Info)
6. e : E@i
7. ¬↑first(e)
8. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (loop-class-memory(X;init)(e1)
        = if first(e1) then init loc(e1)
          if pred(e1) ∈b X then eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
          else loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
          fi 
        ∈ bag(B)))
9. ↑pred(e) ∈b X
10. x : ∃e':{E| ((e' <loc e)
                ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
                ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))}@i
11. (last(λe'.0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))) e)
= (inl x)
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})))@i
⊢ eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x) = eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)) ∈ bag(B)
BY
{ (DVar `x' THEN RepD THEN (Decide ⌈0 < #(init loc(e))⌉⋅ THENA Auto)) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. X : EClass(B ─→ B)
4. init : Id ─→ bag(B)
5. es : EO+(Info)
6. e : E@i
7. ¬↑first(e)
8. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (loop-class-memory(X;init)(e1)
        = if first(e1) then init loc(e1)
          if pred(e1) ∈b X then eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
          else loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
          fi 
        ∈ bag(B)))
9. ↑pred(e) ∈b X
10. x : E@i
11. (x <loc e)@i
12. ↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x))@i
13. ∀e'':E. ((x <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))@i
14. (last(λe'.0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))) e)
= (inl x)
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})))@i
15. 0 < #(init loc(e))
⊢ eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x) = eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)) ∈ bag(B)

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. X : EClass(B ─→ B)
4. init : Id ─→ bag(B)
5. es : EO+(Info)
6. e : E@i
7. ¬↑first(e)
8. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (loop-class-memory(X;init)(e1)
        = if first(e1) then init loc(e1)
          if pred(e1) ∈b X then eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
          else loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
          fi 
        ∈ bag(B)))
9. ↑pred(e) ∈b X
10. x : E@i
11. (x <loc e)@i
12. ↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x))@i
13. ∀e'':E. ((x <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))@i
14. (last(λe'.0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))) e)
= (inl x)
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})))@i
15. ¬0 < #(init loc(e))
⊢ eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x) = eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)) ∈ bag(B)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
4.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
5.  es  :  EO+(Info)
6.  e  :  E@i
7.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
8.  \mforall{}e1:E
          ((e1  <  e)
          {}\mRightarrow{}  (loop-class-memory(X;init)(e1)
                =  if  first(e1)  then  init  loc(e1)
                    if  pred(e1)  \mmember{}\msubb{}  X  then  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
                    else  loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
                    fi  ))
9.  \muparrow{}pred(e)  \mmember{}\msubb{}  X
10.  x  :  \mexists{}e':\{E|  ((e'  <loc  e)
                                \mwedge{}  (\muparrow{}0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
                                \mwedge{}  (\mforall{}e'':E
                                          ((e'  <loc  e'')
                                          {}\mRightarrow{}  (e''  <loc  e)
                                          {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))\}@i
11.  (last(\mlambda{}e'.0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))  e)  =  (inl  x)@i
\mvdash{}  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x)  =  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e))


By

---

Latex:
(DVar  `x'  THEN  RepD  THEN  (Decide  \mkleeneopen{}0  <  \#(init  loc(e))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index