---

Step * 2 1 2 of Lemma loop-class-memory-eq


1. Info : Type
2. B : Type
3. X : EClass(B ─→ B)
4. init : Id ─→ bag(B)
5. es : EO+(Info)
6. e : E@i
7. ¬↑first(e)
8. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (loop-class-memory(X;init)(e1)
        = if first(e1) then init loc(e1)
          if pred(e1) ∈b X then eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
          else loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
          fi 
        ∈ bag(B)))
9. ↑pred(e) ∈b X
10. x : E@i
11. (x <loc e)@i
12. ↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x))@i
13. ∀e'':E. ((x <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))@i
14. (last(λe'.0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))) e)
= (inl x)
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})))@i
15. ¬0 < #(init loc(e))
⊢ eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x) = eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)) ∈ bag(B)
BY
{ ((Assert ⌈#(init loc(e)) = 0 ∈ ℤ⌉⋅ THENA Auto')
   THEN Duplicate (-1)⋅
   THEN (Subst ⌈loc(e) = loc(x) ∈ Id⌉ (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN (Using [`X',⌈X⌉] (FLemma `loop-class-memory-size-zero` [-1])⋅ THENA Auto)
   THEN RepUR ``eclass3`` 0
   THEN (FLemma `bag-size-is-zero` [-1] THENA Auto)
   THEN RepUR ``class-ap`` 0
   THEN Fold `class-ap` 0
   THEN HypSubst' (-1) 0
   THEN (Subst ⌈loc(x) = loc(pred(e)) ∈ Id⌉ (-3)⋅ THENA Auto)
   THEN (Using [`X',⌈X⌉] (FLemma `loop-class-memory-size-zero` [-3])⋅ THENA Auto)
   THEN (FLemma `bag-size-is-zero` [-1] THENA Auto)
   THEN HypSubst' (-1) 0
   THEN Reduce 0
   THEN RWO "bag-combine-empty-right" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
4.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
5.  es  :  EO+(Info)
6.  e  :  E@i
7.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
8.  \mforall{}e1:E
          ((e1  <  e)
          {}\mRightarrow{}  (loop-class-memory(X;init)(e1)
                =  if  first(e1)  then  init  loc(e1)
                    if  pred(e1)  \mmember{}\msubb{}  X  then  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
                    else  loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
                    fi  ))
9.  \muparrow{}pred(e)  \mmember{}\msubb{}  X
10.  x  :  E@i
11.  (x  <loc  e)@i
12.  \muparrow{}0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x))@i
13.  \mforall{}e'':E
            ((x  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  (e''  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))@i
14.  (last(\mlambda{}e'.0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))  e)  =  (inl  x)@i
15.  \mneg{}0  <  \#(init  loc(e))
\mvdash{}  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(x)  =  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}\#(init  loc(e))  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  Duplicate  (-1)\mcdot{}
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}loc(e)  =  loc(x)\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Using  [`X',\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{}]  (FLemma  `loop-class-memory-size-zero`  [-1])\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``eclass3``  0
  THEN  (FLemma  `bag-size-is-zero`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``class-ap``  0
  THEN  Fold  `class-ap`  0
  THEN  HypSubst'  (-1)  0
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}loc(x)  =  loc(pred(e))\mkleeneclose{}  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Using  [`X',\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{}]  (FLemma  `loop-class-memory-size-zero`  [-3])\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (FLemma  `bag-size-is-zero`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  HypSubst'  (-1)  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  RWO  "bag-combine-empty-right"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index