---

Step * 2 2 of Lemma loop-class-memory-eq


1. Info : Type
2. B : Type
3. X : EClass(B ─→ B)
4. init : Id ─→ bag(B)
5. es : EO+(Info)
6. e : E@i
7. ¬↑first(e)
8. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (loop-class-memory(X;init)(e1)
        = if first(e1) then init loc(e1)
          if pred(e1) ∈b X then eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
          else loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
          fi 
        ∈ bag(B)))
9. ↑pred(e) ∈b X
10. y : ¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})@i
11. (last(λe'.0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))) e)
= (inr y )
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})))@i
⊢ (init loc(e)) = eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)) ∈ bag(B)
BY
{ (Decide ⌈0 < #(init loc(e))⌉⋅ THENA Auto) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. X : EClass(B ─→ B)
4. init : Id ─→ bag(B)
5. es : EO+(Info)
6. e : E@i
7. ¬↑first(e)
8. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (loop-class-memory(X;init)(e1)
        = if first(e1) then init loc(e1)
          if pred(e1) ∈b X then eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
          else loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
          fi 
        ∈ bag(B)))
9. ↑pred(e) ∈b X
10. y : ¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})@i
11. (last(λe'.0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))) e)
= (inr y )
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})))@i
12. 0 < #(init loc(e))
⊢ (init loc(e)) = eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)) ∈ bag(B)

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. X : EClass(B ─→ B)
4. init : Id ─→ bag(B)
5. es : EO+(Info)
6. e : E@i
7. ¬↑first(e)
8. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (loop-class-memory(X;init)(e1)
        = if first(e1) then init loc(e1)
          if pred(e1) ∈b X then eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
          else loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
          fi 
        ∈ bag(B)))
9. ↑pred(e) ∈b X
10. y : ¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})@i
11. (last(λe'.0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))) e)
= (inr y )
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})))@i
12. ¬0 < #(init loc(e))
⊢ (init loc(e)) = eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)) ∈ bag(B)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
4.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
5.  es  :  EO+(Info)
6.  e  :  E@i
7.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
8.  \mforall{}e1:E
          ((e1  <  e)
          {}\mRightarrow{}  (loop-class-memory(X;init)(e1)
                =  if  first(e1)  then  init  loc(e1)
                    if  pred(e1)  \mmember{}\msubb{}  X  then  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
                    else  loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
                    fi  ))
9.  \muparrow{}pred(e)  \mmember{}\msubb{}  X
10.  y  :  \mneg{}(\mexists{}e':\{E|  ((e'  <loc  e)  \mwedge{}  (\muparrow{}0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))\})@i
11.  (last(\mlambda{}e'.0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))  e)  =  (inr  y  )@i
\mvdash{}  (init  loc(e))  =  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e))


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}0  <  \#(init  loc(e))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index