---

Step * 2 2 2 of Lemma loop-class-memory-eq


1. Info : Type
2. B : Type
3. X : EClass(B ─→ B)
4. init : Id ─→ bag(B)
5. es : EO+(Info)
6. e : E@i
7. ¬↑first(e)
8. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (loop-class-memory(X;init)(e1)
        = if first(e1) then init loc(e1)
          if pred(e1) ∈b X then eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
          else loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
          fi 
        ∈ bag(B)))
9. ↑pred(e) ∈b X
10. y : ¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})@i
11. (last(λe'.0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))) e)
= (inr y )
∈ ((∃e':{E| ((e' <loc e)
            ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))
            ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ (e'' <loc e) ⇒ (¬↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e''))))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| ((e' <loc e) ∧ (↑0 <z #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))})))@i
12. ¬0 < #(init loc(e))
⊢ (init loc(e)) = eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)) ∈ bag(B)
BY
{ ((Assert ⌈#(init loc(e)) ≤ 0⌉⋅ THENA Auto')
   THEN (FLemma `bag-size-zero` [-1] THENA Auto)
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Symmetry
   THEN (BLemma `assert-bag-null` THENA Auto)
   THEN (RWO "null-bag-size" 0 THENA Auto)
   THEN (RW assert_pushdownC 0 THENA Auto)
   THEN SupposeNot
   THEN (Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto)
   THEN (Assert ⌈0 < #(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)))⌉⋅ THENA Auto')
   THEN (RWO "bag-member-iff-size<" (-1) THENA Auto)
   THEN RepUR ``class-ap`` (-1)
   THEN Fold `classrel` (-1)
   THEN SquashExRepD
   THEN MaUseClassRel (-1)
   THEN D (-10)
   THEN (Subst ⌈loc(e) = loc(pred(e)) ∈ Id⌉ 0⋅ THENA Auto)
   THEN Using [`X',⌈X⌉] (BLemma `loop-class-memory-exists`)⋅
   THEN Auto
   THEN D 0
   THEN InstConcl [⌈b⌉]⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
4.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
5.  es  :  EO+(Info)
6.  e  :  E@i
7.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
8.  \mforall{}e1:E
          ((e1  <  e)
          {}\mRightarrow{}  (loop-class-memory(X;init)(e1)
                =  if  first(e1)  then  init  loc(e1)
                    if  pred(e1)  \mmember{}\msubb{}  X  then  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e1))
                    else  loop-class-memory(X;init)(pred(e1))
                    fi  ))
9.  \muparrow{}pred(e)  \mmember{}\msubb{}  X
10.  y  :  \mneg{}(\mexists{}e':\{E|  ((e'  <loc  e)  \mwedge{}  (\muparrow{}0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e'))))\})@i
11.  (last(\mlambda{}e'.0  <z  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(e')))  e)  =  (inr  y  )@i
12.  \mneg{}0  <  \#(init  loc(e))
\mvdash{}  (init  loc(e))  =  eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}\#(init  loc(e))  \mleq{}  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  (FLemma  `bag-size-zero`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Symmetry
  THEN  (BLemma  `assert-bag-null`  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "null-bag-size"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RW  assert\_pushdownC  0  THENA  Auto)
  THEN  SupposeNot
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}0  <  \#(eclass3(X;loop-class-memory(X;init))(pred(e)))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  (RWO  "bag-member-iff-size<"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``class-ap``  (-1)
  THEN  Fold  `classrel`  (-1)
  THEN  SquashExRepD
  THEN  MaUseClassRel  (-1)
  THEN  D  (-10)
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}loc(e)  =  loc(pred(e))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Using  [`X',\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{}]  (BLemma  `loop-class-memory-exists`)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  D  0
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index