---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma loop-class-program_wf


1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ bag(B))
5. init : Id ─→ bag(B)
6. loop-class(X;init) ∈ EClass(B)
7. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))
8. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ bag(B)))
9. es : EO+(Info)@i'
10. e : E@i
11. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (simple-hdf-buffer(F loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = simple-hdf-buffer(F loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
12. ¬↑first(e)
13. simple-hdf-buffer(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= simple-hdf-buffer(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
14. v : bag(B)@i
15. Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
16. v1 : hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
17. F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = v1 ∈ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))@i
⊢ (fst(let s1,b = let X',fs = case v1 of inl(P) => P info(pred(e)) | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                  in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈v.f b
                     in <<X', if bag-null(bs') then v else bs' fi >, bs'> 
       in <mk-hdf(Xbs,a.let X,bs = Xbs 
                        in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                           in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈bs.f b
                              in <<X', if bag-null(bs') then bs else bs' fi >, bs'>;s.ff;s1)
          , b
          >))
= simple-hdf-buffer(fst(case v1
   of inl(P) =>
   P info(pred(e))
   | inr(z) =>
   <inr ⋅ , {}>);if 0 <z #(loop-class(X;init)(pred(e))) then loop-class(X;init)(pred(e)) else v fi )
∈ hdataflow(Info;B)
BY
{ ((Subst' loc(e) ~ loc(pred(e)) -1 THENA MaAuto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (HDataflowHD (-1) THENA Auto)
   THEN Reduce 0) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ bag(B))
5. init : Id ─→ bag(B)
6. loop-class(X;init) ∈ EClass(B)
7. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))
8. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ bag(B)))
9. es : EO+(Info)@i'
10. e : E@i
11. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (simple-hdf-buffer(F loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = simple-hdf-buffer(F loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
12. ¬↑first(e)
13. simple-hdf-buffer(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= simple-hdf-buffer(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
14. v : bag(B)@i
15. Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
16. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ bag(B)) × bag(B ─→ bag(B)))@i
⊢ (F loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ bag(B)))
⇒ ((fst(let s1,b = let X',fs = x info(pred(e)) 
                    in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈v.f b
                       in <<X', if bag-null(bs') then v else bs' fi >, bs'> 
         in <mk-hdf(Xbs,a.let X,bs = Xbs 
                          in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                             in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈bs.f b
                                in <<X', if bag-null(bs') then bs else bs' fi >, bs'>;s.ff;s1)
            , b
            >))
   = simple-hdf-buffer(fst((x info(pred(e))));if 0 <z #(loop-class(X;init)(pred(e)))
     then loop-class(X;init)(pred(e))
     else v
     fi )
   ∈ hdataflow(Info;B))

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ bag(B))
5. init : Id ─→ bag(B)
6. loop-class(X;init) ∈ EClass(B)
7. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ bag(B))
8. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ bag(B)))
9. es : EO+(Info)@i'
10. e : E@i
11. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (simple-hdf-buffer(F loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = simple-hdf-buffer(F loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
12. ¬↑first(e)
13. simple-hdf-buffer(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= simple-hdf-buffer(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
14. v : bag(B)@i
15. Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
16. y : Unit@i
⊢ (F loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inr y ) ∈ hdataflow(Info;B ─→ bag(B)))
⇒ (mk-hdf(Xbs,a.let X,bs = Xbs 
                 in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                    in let bs' ←─ ∪f∈fs.∪b∈bs.f b
                       in <<X', if bag-null(bs') then bs else bs' fi >, bs'>;s.ff;<inr ⋅ , v>)
   = simple-hdf-buffer(inr ⋅ ;if 0 <z #(loop-class(X;init)(pred(e))) then loop-class(X;init)(pred(e)) else v fi )
   ∈ hdataflow(Info;B))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  bag(B))
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  loop-class(X;init)  \mmember{}  EClass(B)
7.  F  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  bag(B))
8.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(F  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
9.  es  :  EO+(Info)@i'
10.  e  :  E@i
11.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (simple-hdf-buffer(F  loc(e1);init  loc(e1))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                  =  simple-hdf-buffer(F 
                                                          loc(e1)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                                    before(e1)));Prior(loop-class(X;init))?init(e1))))
12.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
13.  simple-hdf-buffer(F  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))
=  simple-hdf-buffer(F 
                                        loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                before(pred(e))));Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e)))
14.  v  :  bag(B)@i
15.  Prior(loop-class(X;init))?init(pred(e))  =  v@i
16.  v1  :  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  bag(B))@i
17.  F  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))  =  v1@i
\mvdash{}  (fst(let  s1,b  =  let  X',fs  =  case  v1  of  inl(P)  =>  P  info(pred(e))  |  inr(z)  =>  <inr  \mcdot{}  ,  \{\}> 
                                    in  let  bs'  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.\mcup{}b\mmember{}v.f  b
                                          in  <<X',  if  bag-null(bs')  then  v  else  bs'  fi  >,  bs'> 
              in  <mk-hdf(Xbs,a.let  X,bs  =  Xbs 
                                                in  let  X',fs  =  case  X  of  inl(P)  =>  P  a  |  inr(z)  =>  <inr  \mcdot{}  ,  \{\}> 
                                                      in  let  bs'  \mleftarrow{}{}  \mcup{}f\mmember{}fs.\mcup{}b\mmember{}bs.f  b
                                                            in  <<X',  if  bag-null(bs')  then  bs  else  bs'  fi  >,  bs'>s.ff;s1)
                    ,  b
                    >))
=  simple-hdf-buffer(fst(case  v1
      of  inl(P)  =>
      P  info(pred(e))
      |  inr(z)  =>
      <inr  \mcdot{}  ,  \{\}>);if  0  <z  \#(loop-class(X;init)(pred(e)))  then  loop-class(X;init)(pred(e))  else  v  fi  )


By

---

Latex:
((Subst'  loc(e)  \msim{}  loc(pred(e))  -1  THENA  MaAuto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (HDataflowHD  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index