---

Step * 1 1 of Lemma loop-class2-program_wf


1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. loop-class2(X;init) ∈ EClass(B)
10. e : E@i
11. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (simple-hdf-buffer2(F loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = simple-hdf-buffer2(F loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class2(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
12. ¬↑first(e)
13. simple-hdf-buffer2(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= simple-hdf-buffer2(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class2(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
⊢ (fst(simple-hdf-buffer2(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))(info(pred(e)))))
= simple-hdf-buffer2(fst(F 
                         loc(e)*(map(λx.info(x);
                                     before(pred(e))))(info(pred(e))));if 0 <z #(loop-class2(X;init)(pred(e)))
  then loop-class2(X;init)(pred(e))
  else Prior(loop-class2(X;init))?init(pred(e))
  fi )
∈ hdataflow(Info;B)
BY
{ ((HypSubst (-1) 0 THENA Auto)
   THEN GenConclAtAddr [3;2;3]
   THEN GenConclAtAddr [2;1;1;1]⋅
   THEN (RW (AddrC [2] (UnfoldC `simple-hdf-buffer2`)) 0 THEN RecUnfold `mk-hdf` 0 THEN RepUR ``hdf-ap hdf-run`` 0)⋅)⋅ }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. F : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. loop-class2(X;init) ∈ EClass(B)
10. e : E@i
11. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (simple-hdf-buffer2(F loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = simple-hdf-buffer2(F loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));Prior(loop-class2(X;init))?init(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
12. ¬↑first(e)
13. simple-hdf-buffer2(F loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= simple-hdf-buffer2(F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));Prior(loop-class2(X;init))?init(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
14. v : bag(B)@i
15. Prior(loop-class2(X;init))?init(pred(e)) = v ∈ bag(B)@i
16. v1 : hdataflow(Info;B ─→ B)@i
17. F loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = v1 ∈ hdataflow(Info;B ─→ B)@i
⊢ (fst(let s1,b = let X',fs = case v1 of inl(P) => P info(pred(e)) | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                  in let bs' ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;v)
                     in <<X', if bag-null(bs') then v else bs' fi >, bs'> 
       in <mk-hdf(Xbs,a.let X,bs = Xbs 
                        in let X',fs = case X of inl(P) => P a | inr(z) => <inr ⋅ , {}> 
                           in let bs' ←─ ∪f∈fs.bag-map(f;bs)
                              in <<X', if bag-null(bs') then bs else bs' fi >, bs'>;s.ff;s1)
          , b
          >))
= simple-hdf-buffer2(fst(case v1
   of inl(P) =>
   P info(pred(e))
   | inr(z) =>
   <inr ⋅ , {}>);if 0 <z #(loop-class2(X;init)(pred(e))) then loop-class2(X;init)(pred(e)) else v fi )
∈ hdataflow(Info;B)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  F  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)
7.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(F  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  loop-class2(X;init)  \mmember{}  EClass(B)
10.  e  :  E@i
11.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (simple-hdf-buffer2(F  loc(e1);init  loc(e1))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                  =  simple-hdf-buffer2(F 
                                                            loc(e1)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                                      before(e1)));Prior(loop-class2(X;init))?init(e1))))
12.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
13.  simple-hdf-buffer2(F  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))
=  simple-hdf-buffer2(F 
                                          loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                  before(pred(e))));Prior(loop-class2(X;init))?init(pred(e)))
\mvdash{}  (fst(simple-hdf-buffer2(F  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))(info(pred(e)))))
=  simple-hdf-buffer2(fst(F 
                                                  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                          before(pred(e))))(info(pred(e))));if  0  <z  \#(...(pred(e)))
    then  loop-class2(X;init)(pred(e))
    else  Prior(loop-class2(X;init))?init(pred(e))
    fi  )


By

---

Latex:
((HypSubst  (-1)  0  THENA  Auto)
  THEN  GenConclAtAddr  [3;2;3]
  THEN  GenConclAtAddr  [2;1;1;1]\mcdot{}
  THEN  (RW  (AddrC  [2]  (UnfoldC  `simple-hdf-buffer2`))  0
              THEN  RecUnfold  `mk-hdf`  0
              THEN  RepUR  ``hdf-ap  hdf-run``  0)\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index