---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma combine-antecedent-surjections


1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. d : e:E ─→ (A e + (¬(A e)))@i
10. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
11. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
⊢ ∃d:E ─→ 𝔹. ∀e:E. (↑(d e) ⇐⇒ A e)
BY
{ (((InstConcl [⌈λe.case d e of inl(x) => tt | inr(x) => ff⌉])⋅ THENA Auto) THEN Reduce 0 THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. d : e:E ─→ (A e + (¬(A e)))@i
10. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
11. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
12. e : E@i
⊢ ↑case d e of inl(x) => tt | inr(x) => ff ⇐⇒ A e

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  [A]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [B]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  [P]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [Q]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((A  e)  \mwedge{}  (B  e)))
7.  \mforall{}e:E.  (\mneg{}((P  e)  \mwedge{}  (Q  e)))
8.  \mforall{}e:E.  Dec(P  e)@i
9.  d  :  e:E  {}\mrightarrow{}  (A  e  +  (\mneg{}(A  e)))@i
10.  f  :  \{e:E|  A  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  P  e\}  @i
11.  g  :  \{e:E|  B  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q  e\}  @i
\mvdash{}  \mexists{}d:E  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mforall{}e:E.  (\muparrow{}(d  e)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  A  e)


By

(((InstConcl  [\mkleeneopen{}\mlambda{}e.case  d  e  of  inl(x)  =>  tt  |  inr(x)  =>  ff\mkleeneclose{}])\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index