---

Step * 1 2 of Lemma es-last-event_wf


1. es : EO
2. e : E@i
3. ¬↑first(e)
4. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (∀P:{e':E| e' ≤loc e1 }  ─→ 𝔹
           (es-last-event(es;P;e1) ∈ (∃e':{E| (e' ≤loc e1 
                                              ∧ (↑(P e'))
                                              ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e1  ⇒ (¬↑(P e'')))))})
            ∨ (¬(∃e':{E| (e' ≤loc e1  ∧ (↑(P e')))})))))
5. P : {e':E| e' ≤loc e }  ─→ 𝔹@i
6. ¬↑(P e)
⊢ es-last-event(es;P;pred(e)) ∈ (∃e':{E| (e' ≤loc e 
                                         ∧ (↑(P e'))
                                         ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ (¬↑(P e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| (e' ≤loc e  ∧ (↑(P e')))}))
BY
{ ((InstHyp [⌈pred(e)⌉;⌈P⌉] (-3)⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `es-pred_property` [⌈es⌉;⌈e⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ⌈(pred(e) <loc e)⌉⋅ THENA (D 0 THEN Auto))
   THEN RepD⋅) }

1
1. es : EO
2. e : E@i
3. ¬↑first(e)
4. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (∀P:{e':E| e' ≤loc e1 }  ─→ 𝔹
           (es-last-event(es;P;e1) ∈ (∃e':{E| (e' ≤loc e1 
                                              ∧ (↑(P e'))
                                              ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e1  ⇒ (¬↑(P e'')))))})
            ∨ (¬(∃e':{E| (e' ≤loc e1  ∧ (↑(P e')))})))))
5. P : {e':E| e' ≤loc e }  ─→ 𝔹@i
6. ¬↑(P e)
7. es-last-event(es;P;pred(e)) ∈ (∃e':{E| (e' ≤loc pred(e) 
                                          ∧ (↑(P e'))
                                          ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc pred(e)  ⇒ (¬↑(P e'')))))})
   ∨ (¬(∃e':{E| (e' ≤loc pred(e)  ∧ (↑(P e')))}))
8. loc(pred(e)) = loc(e) ∈ Id
9. (pred(e) < e)
10. ∀e':E. (e' < e) ⇒ ((e' = pred(e) ∈ E) ∨ (e' < pred(e))) supposing loc(e') = loc(e) ∈ Id
11. (pred(e) <loc e)
⊢ es-last-event(es;P;pred(e)) ∈ (∃e':{E| (e' ≤loc e 
                                         ∧ (↑(P e'))
                                         ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ (¬↑(P e'')))))})
  ∨ (¬(∃e':{E| (e' ≤loc e  ∧ (↑(P e')))}))

---

Latex:



1.  es  :  EO
2.  e  :  E@i
3.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
4.  \mforall{}e1:E
          ((e1  <  e)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}P:\{e':E|  e'  \mleq{}loc  e1  \}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
                      (es-last-event(es;P;e1)  \mmember{}  (\mexists{}e':\{E|  (e'  \mleq{}loc  e1 
                                                                                            \mwedge{}  (\muparrow{}(P  e'))
                                                                                            \mwedge{}  (\mforall{}e'':E
                                                                                                      ((e'  <loc  e'')
                                                                                                      {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  e1 
                                                                                                      {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  e'')))))\})
                        \mvee{}  (\mneg{}(\mexists{}e':\{E|  (e'  \mleq{}loc  e1    \mwedge{}  (\muparrow{}(P  e')))\})))))
5.  P  :  \{e':E|  e'  \mleq{}loc  e  \}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
6.  \mneg{}\muparrow{}(P  e)
\mvdash{}  es-last-event(es;P;pred(e))  \mmember{}  (\mexists{}e':\{E|  (e'  \mleq{}loc  e 
                                                                                  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  e'))
                                                                                  \mwedge{}  (\mforall{}e'':E
                                                                                            ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  e    {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  e'')))))\})
    \mvee{}  (\mneg{}(\mexists{}e':\{E|  (e'  \mleq{}loc  e    \mwedge{}  (\muparrow{}(P  e')))\}))


By

((InstHyp  [\mkleeneopen{}pred(e)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}P\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `es-pred\_property`  [\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(pred(e)  <loc  e)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  (D  0  THEN  Auto))
  THEN  RepD\mcdot{})

---

Home Index