---

Step * 2 1 2 2 of Lemma implies-es-pred


1. the_es : EO
2. Trans(E;e,e'.(e <loc e'))
3. SWellFounded((e <loc e'))
4. ∀e,e':E.  (loc(e) = loc(e') ∈ Id ⇐⇒ (e <loc e') ∨ (e = e' ∈ E) ∨ (e' <loc e))
5. ∀e:E. (↑first(e) ⇐⇒ ∀e':E. (¬(e' <loc e)))
6. ∀e:E. (pred(e) <loc e) ∧ (∀e':E. (¬((pred(e) <loc e') ∧ (e' <loc e)))) supposing ¬↑first(e)
7. Trans(E;e,e'.(e < e'))
8. SWellFounded((e < e'))
9. ∀e,e':E.  ((e <loc e') ⇒ (e < e'))
10. e : E
11. e' : E
12. (e <loc e')
13. ∀e1:E. (¬((e <loc e1) c∧ (e1 <loc e')))
14. ¬↑first(e')
15. (pred(e') <loc e') ∧ (∀e'@0:E. (¬((pred(e') <loc e'@0) ∧ (e'@0 <loc e'))))
16. ¬(pred(e') <loc e)
17. (e <loc pred(e')) ∨ (e = pred(e') ∈ E) ∨ (pred(e') <loc e)
⊢ e = pred(e') ∈ E
BY
{ ((D (-1)) THEN Auto) }

1
1. the_es : EO
2. Trans(E;e,e'.(e <loc e'))
3. SWellFounded((e <loc e'))
4. ∀e,e':E.  (loc(e) = loc(e') ∈ Id ⇐⇒ (e <loc e') ∨ (e = e' ∈ E) ∨ (e' <loc e))
5. ∀e:E. (↑first(e) ⇐⇒ ∀e':E. (¬(e' <loc e)))
6. ∀e:E. (pred(e) <loc e) ∧ (∀e':E. (¬((pred(e) <loc e') ∧ (e' <loc e)))) supposing ¬↑first(e)
7. Trans(E;e,e'.(e < e'))
8. SWellFounded((e < e'))
9. ∀e,e':E.  ((e <loc e') ⇒ (e < e'))
10. e : E
11. e' : E
12. (e <loc e')
13. ∀e1:E. (¬((e <loc e1) c∧ (e1 <loc e')))
14. ¬↑first(e')
15. (pred(e') <loc e')
16. ∀e'@0:E. (¬((pred(e') <loc e'@0) ∧ (e'@0 <loc e')))
17. ¬(pred(e') <loc e)
18. (e <loc pred(e'))
⊢ e = pred(e') ∈ E

2
1. the_es : EO
2. Trans(E;e,e'.(e <loc e'))
3. SWellFounded((e <loc e'))
4. ∀e,e':E.  (loc(e) = loc(e') ∈ Id ⇐⇒ (e <loc e') ∨ (e = e' ∈ E) ∨ (e' <loc e))
5. ∀e:E. (↑first(e) ⇐⇒ ∀e':E. (¬(e' <loc e)))
6. ∀e:E. (pred(e) <loc e) ∧ (∀e':E. (¬((pred(e) <loc e') ∧ (e' <loc e)))) supposing ¬↑first(e)
7. Trans(E;e,e'.(e < e'))
8. SWellFounded((e < e'))
9. ∀e,e':E.  ((e <loc e') ⇒ (e < e'))
10. e : E
11. e' : E
12. (e <loc e')
13. ∀e1:E. (¬((e <loc e1) c∧ (e1 <loc e')))
14. ¬↑first(e')
15. (pred(e') <loc e')
16. ∀e'@0:E. (¬((pred(e') <loc e'@0) ∧ (e'@0 <loc e')))
17. ¬(pred(e') <loc e)
18. (e = pred(e') ∈ E) ∨ (pred(e') <loc e)
⊢ e = pred(e') ∈ E

---

Latex:



1.  the$_{es}$  :  EO
2.  Trans(E;e,e'.(e  <loc  e'))
3.  SWellFounded((e  <loc  e'))
4.  \mforall{}e,e':E.    (loc(e)  =  loc(e')  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (e  <loc  e')  \mvee{}  (e  =  e')  \mvee{}  (e'  <loc  e))
5.  \mforall{}e:E.  (\muparrow{}first(e)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}e':E.  (\mneg{}(e'  <loc  e)))
6.  \mforall{}e:E.  (pred(e)  <loc  e)  \mwedge{}  (\mforall{}e':E.  (\mneg{}((pred(e)  <loc  e')  \mwedge{}  (e'  <loc  e))))  supposing  \mneg{}\muparrow{}first(e)
7.  Trans(E;e,e'.(e  <  e'))
8.  SWellFounded((e  <  e'))
9.  \mforall{}e,e':E.    ((e  <loc  e')  {}\mRightarrow{}  (e  <  e'))
10.  e  :  E
11.  e'  :  E
12.  (e  <loc  e')
13.  \mforall{}e1:E.  (\mneg{}((e  <loc  e1)  c\mwedge{}  (e1  <loc  e')))
14.  \mneg{}\muparrow{}first(e')
15.  (pred(e')  <loc  e')  \mwedge{}  (\mforall{}e'@0:E.  (\mneg{}((pred(e')  <loc  e'@0)  \mwedge{}  (e'@0  <loc  e'))))
16.  \mneg{}(pred(e')  <loc  e)
17.  (e  <loc  pred(e'))  \mvee{}  (e  =  pred(e'))  \mvee{}  (pred(e')  <loc  e)
\mvdash{}  e  =  pred(e')


By

((D  (-1))  THEN  Auto)

---

Home Index