---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma bounded-expectation


1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. B : ℚ@i
5. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  X[i] ≤ X[n]
7. 0 < B
8. ∀n:ℕ. (0 ≤ X[n] ∧ E(f[n];X[n]) < B)
9. q : ℚ@i
10. 0 < q@i
11. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
12. 0 < (B/q)
13. ¬((B/q) = 0 ∈ ℚ)
⊢ ∃b:ℚ. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q
BY
{ ((InstConcl [⌈(B/q)⌉])⋅ THEN Auto THEN ((InstLemma `Markov-inequality` [⌈p⌉; ⌈f[n]⌉; ⌈X[n]⌉; ⌈(B/q)⌉])⋅ THENA Auto))
⋅ }

1
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. B : ℚ@i
5. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  X[i] ≤ X[n]
7. 0 < B
8. ∀n:ℕ. (0 ≤ X[n] ∧ E(f[n];X[n]) < B)
9. q : ℚ@i
10. 0 < q@i
11. ¬(q = 0 ∈ ℚ)
12. 0 < (B/q)
13. ¬((B/q) = 0 ∈ ℚ)
14. n : ℕ@i
15. E(f[n];(B/q) ≤ X[n]) ≤ (E(f[n];X[n])/(B/q))
⊢ E(f[n];(B/q) ≤ X[n]) < q

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace@i
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])@i
4.  B  :  \mBbbQ{}@i
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    X[i]  \mleq{}  X[n]
7.  0  <  B
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (0  \mleq{}  X[n]  \mwedge{}  E(f[n];X[n])  <  B)
9.  q  :  \mBbbQ{}@i
10.  0  <  q@i
11.  \mneg{}(q  =  0)
12.  0  <  (B/q)
13.  \mneg{}((B/q)  =  0)
\mvdash{}  \mexists{}b:\mBbbQ{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  E(f[n];b  \mleq{}  X[n])  <  q


By

((InstConcl  [\mkleeneopen{}(B/q)\mkleeneclose{}])\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  ((InstLemma  `Markov-inequality`  [\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}f[n]\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}X[n]\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}(B/q)\mkleeneclose{}])\mcdot{}  THENA  Auto))\mcdot{}

---

Home Index