---

Step * 1 2 1 1 2 of Lemma bounded-expectation


1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. B : ℚ@i
5. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  X[i] ≤ X[n]
7. 0 < B
8. ∀n:ℕ. (0 ≤ X[n] ∧ E(f[n];X[n]) < B)
9. ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q))
10. q : ℚ@i
11. 0 < q@i
12. b : ℚ
13. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q
14. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ─→ Outcome.  Dec(∃i:ℕn. (f[i] < n c∧ (b ≤ (X[i] s))))
⊢ ∃C:p-open(p). (measure(C) ≤ q ∧ (∀s:ℕ ─→ Outcome. ((∃n:ℕ. (b ≤ (X[n] s))) ⇒ s ∈ C)))
BY
{ Assert ⌈∃g:(n:ℕ × (ℕn ─→ Outcome)) ─→ ℕ2
           ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ─→ Outcome.  ((g <n, s>) = 1 ∈ ℤ ⇐⇒ ∃i:ℕn. (f[i] < n c∧ (b ≤ (X[i] s))))⌉⋅ }

1
.....assertion..... 
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. B : ℚ@i
5. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  X[i] ≤ X[n]
7. 0 < B
8. ∀n:ℕ. (0 ≤ X[n] ∧ E(f[n];X[n]) < B)
9. ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q))
10. q : ℚ@i
11. 0 < q@i
12. b : ℚ
13. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q
14. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ─→ Outcome.  Dec(∃i:ℕn. (f[i] < n c∧ (b ≤ (X[i] s))))
⊢ ∃g:(n:ℕ × (ℕn ─→ Outcome)) ─→ ℕ2. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ─→ Outcome.  ((g <n, s>) = 1 ∈ ℤ ⇐⇒ ∃i:ℕn. (f[i] < n c∧ (b ≤ (X[i] s)))\000C)

2
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. B : ℚ@i
5. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  X[i] ≤ X[n]
7. 0 < B
8. ∀n:ℕ. (0 ≤ X[n] ∧ E(f[n];X[n]) < B)
9. ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q))
10. q : ℚ@i
11. 0 < q@i
12. b : ℚ
13. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q
14. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ─→ Outcome.  Dec(∃i:ℕn. (f[i] < n c∧ (b ≤ (X[i] s))))
15. ∃g:(n:ℕ × (ℕn ─→ Outcome)) ─→ ℕ2
     ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ─→ Outcome.  ((g <n, s>) = 1 ∈ ℤ ⇐⇒ ∃i:ℕn. (f[i] < n c∧ (b ≤ (X[i] s))))
⊢ ∃C:p-open(p). (measure(C) ≤ q ∧ (∀s:ℕ ─→ Outcome. ((∃n:ℕ. (b ≤ (X[n] s))) ⇒ s ∈ C)))

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace@i
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])@i
4.  B  :  \mBbbQ{}@i
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    X[i]  \mleq{}  X[n]
7.  0  <  B
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (0  \mleq{}  X[n]  \mwedge{}  E(f[n];X[n])  <  B)
9.  \mforall{}q:\mBbbQ{}.  (0  <  q  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:\mBbbQ{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  E(f[n];b  \mleq{}  X[n])  <  q))
10.  q  :  \mBbbQ{}@i
11.  0  <  q@i
12.  b  :  \mBbbQ{}
13.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  E(f[n];b  \mleq{}  X[n])  <  q
14.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  Outcome.    Dec(\mexists{}i:\mBbbN{}n.  (f[i]  <  n  c\mwedge{}  (b  \mleq{}  (X[i]  s))))
\mvdash{}  \mexists{}C:p-open(p).  (measure(C)  \mleq{}  q  \mwedge{}  (\mforall{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Outcome.  ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  \mleq{}  (X[n]  s)))  {}\mRightarrow{}  s  \mmember{}  C)))


By

Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}g:(n:\mBbbN{}  \mtimes{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  Outcome))  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2
                  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  Outcome.    ((g  <n,  s>)  =  1  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}i:\mBbbN{}n.  (f[i]  <  n  c\mwedge{}  (b  \mleq{}  (X[i]  s))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index