---

Step * 1 2 2 1 of Lemma bounded-expectation

.....antecedent..... 
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. B : ℚ@i
5. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  X[i] ≤ X[n]
7. 0 < B
8. ∀n:ℕ. (0 ≤ X[n] ∧ E(f[n];X[n]) < B)
9. ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q))
10. ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∃C:p-open(p). (measure(C) ≤ q ∧ (∀s:ℕ ─→ Outcome. ((∃n:ℕ. (b ≤ (X[n] s))) ⇒ s ∈ C)))))
11. q : {q:ℚ| 0 < q} @i
12. b : ℚ
13. C : p-open(p)
14. measure(C) ≤ q
15. ∀s:ℕ ─→ Outcome. ((∃n:ℕ. (b ≤ (X[n] s))) ⇒ s ∈ C)
16. (X[n]─→∞ as n─→∞) ∈ (ℕ ─→ Outcome) ─→ ℙ
17. s : ℕ ─→ Outcome@i
18. (X[n]─→∞ as n─→∞) s@i
⊢ ∃n:ℕ. (b ≤ (X[n] s))
BY
{ (RepUR ``rv-unbounded`` -1
   THEN ((InstHyp [⌈b⌉] (-1))⋅ THENA Auto)
   THEN ParallelLast
   THEN Try ((Fold `random-variable` 0 THEN Auto))
   THEN Try ((Fold `p-outcome` 0 THEN Auto))
   THEN Auto) }

---

Latex:


.....antecedent..... 
1.  p  :  FinProbSpace@i
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])@i
4.  B  :  \mBbbQ{}@i
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    X[i]  \mleq{}  X[n]
7.  0  <  B
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (0  \mleq{}  X[n]  \mwedge{}  E(f[n];X[n])  <  B)
9.  \mforall{}q:\mBbbQ{}.  (0  <  q  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:\mBbbQ{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  E(f[n];b  \mleq{}  X[n])  <  q))
10.  \mforall{}q:\mBbbQ{}
            (0  <  q
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:\mBbbQ{}
                      \mexists{}C:p-open(p).  (measure(C)  \mleq{}  q  \mwedge{}  (\mforall{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Outcome.  ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  \mleq{}  (X[n]  s)))  {}\mRightarrow{}  s  \mmember{}  C)))))
11.  q  :  \{q:\mBbbQ{}|  0  <  q\}  @i
12.  b  :  \mBbbQ{}
13.  C  :  p-open(p)
14.  measure(C)  \mleq{}  q
15.  \mforall{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Outcome.  ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  \mleq{}  (X[n]  s)))  {}\mRightarrow{}  s  \mmember{}  C)
16.  (X[n]{}\mrightarrow{}\minfty{}  as  n{}\mrightarrow{}\minfty{})  \mmember{}  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Outcome)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
17.  s  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Outcome@i
18.  (X[n]{}\mrightarrow{}\minfty{}  as  n{}\mrightarrow{}\minfty{})  s@i
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  \mleq{}  (X[n]  s))


By

(RepUR  ``rv-unbounded``  -1
  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]  (-1))\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ParallelLast
  THEN  Try  ((Fold  `random-variable`  0  THEN  Auto))
  THEN  Try  ((Fold  `p-outcome`  0  THEN  Auto))
  THEN  Auto)

---

Home Index