---

Step * 2 2 2 of Lemma expectation-rv-disjoint


1. p : FinProbSpace
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[X,Y:RandomVariable(p;n - 1)].  E(n - 1;X * Y) = (E(n - 1;X) * E(n - 1;Y)) ∈ ℚ supposing rv-disjoint(p;n - 1;X;Y)
5. X : RandomVariable(p;n)
6. Y : RandomVariable(p;n)
7. rv-disjoint(p;n;X;Y)
8. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
9. ∀x,y:Outcome.  (rv-shift(x;Y) = rv-shift(y;Y) ∈ RandomVariable(p;n - 1))
⊢ weighted-sum(p;λx.E(n - 1;rv-shift(x;X * Y)))
= (weighted-sum(p;λx.E(n - 1;rv-shift(x;X))) * E(n - 1;rv-shift(0;Y)))
∈ ℚ
BY
{ (Subst' (λx.E(n - 1;rv-shift(x;X * Y)))
   = (λx.((E(n - 1;rv-shift(0;Y)) * ((λx.E(n - 1;rv-shift(x;X))) x)) + (0 * ((λx.0) x))))
   ∈ (Outcome ─→ ℚ) 0
   THENA Auto
   ) }

1
.....equality..... 
1. p : FinProbSpace
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[X,Y:RandomVariable(p;n - 1)].  E(n - 1;X * Y) = (E(n - 1;X) * E(n - 1;Y)) ∈ ℚ supposing rv-disjoint(p;n - 1;X;Y)
5. X : RandomVariable(p;n)
6. Y : RandomVariable(p;n)
7. rv-disjoint(p;n;X;Y)
8. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
9. ∀x,y:Outcome.  (rv-shift(x;Y) = rv-shift(y;Y) ∈ RandomVariable(p;n - 1))
⊢ (λx.E(n - 1;rv-shift(x;X * Y)))
= (λx.((E(n - 1;rv-shift(0;Y)) * ((λx.E(n - 1;rv-shift(x;X))) x)) + (0 * ((λx.0) x))))
∈ (Outcome ─→ ℚ)

2
1. p : FinProbSpace
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[X,Y:RandomVariable(p;n - 1)].  E(n - 1;X * Y) = (E(n - 1;X) * E(n - 1;Y)) ∈ ℚ supposing rv-disjoint(p;n - 1;X;Y)
5. X : RandomVariable(p;n)
6. Y : RandomVariable(p;n)
7. rv-disjoint(p;n;X;Y)
8. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
9. ∀x,y:Outcome.  (rv-shift(x;Y) = rv-shift(y;Y) ∈ RandomVariable(p;n - 1))
⊢ weighted-sum(p;λx.((E(n - 1;rv-shift(0;Y)) * ((λx.E(n - 1;rv-shift(x;X))) x)) + (0 * ((λx.0) x))))
= (weighted-sum(p;λx.E(n - 1;rv-shift(x;X))) * E(n - 1;rv-shift(0;Y)))
∈ ℚ

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  \mforall{}[X,Y:RandomVariable(p;n  -  1)].
          E(n  -  1;X  *  Y)  =  (E(n  -  1;X)  *  E(n  -  1;Y))  supposing  rv-disjoint(p;n  -  1;X;Y)
5.  X  :  RandomVariable(p;n)
6.  Y  :  RandomVariable(p;n)
7.  rv-disjoint(p;n;X;Y)
8.  \mneg{}(n  =  0)
9.  \mforall{}x,y:Outcome.    (rv-shift(x;Y)  =  rv-shift(y;Y))
\mvdash{}  weighted-sum(p;\mlambda{}x.E(n  -  1;rv-shift(x;X  *  Y)))
=  (weighted-sum(p;\mlambda{}x.E(n  -  1;rv-shift(x;X)))  *  E(n  -  1;rv-shift(0;Y)))


By

(Subst'  (\mlambda{}x.E(n  -  1;rv-shift(x;X  *  Y)))
  =  (\mlambda{}x.((E(n  -  1;rv-shift(0;Y))  *  ((\mlambda{}x.E(n  -  1;rv-shift(x;X)))  x))  +  (0  *  ((\mlambda{}x.0)  x))))  0
  THENA  Auto
  )

---

Home Index