---

Step * 1 1 2 1 of Lemma rv-partial-sum-monotone


1. p : FinProbSpace
2. f : ℕ ─→ ℕ
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])
4. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
5. ∀n:ℕ. 0 ≤ X[n]
6. m : ℕ@i
7. ∀m1:ℕm. ∀n:ℕm1 + 1.  rv-partial-sum(n;i.X[i]) ≤ rv-partial-sum(m1;i.X[i])@i
8. n : ℕm + 1@i
9. ¬(n = m ∈ ℤ)
10. rv-partial-sum(n;i.X[i]) ≤ rv-partial-sum(m - 1;i.X[i])
⊢ rv-partial-sum(n;i.X[i]) ≤ rv-partial-sum(m - 1;i.X[i]) + X[m - 1]
BY
{ ((MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌈rv-partial-sum(n;i.X[i]) = A ∈ RandomVariable(p;f[n])⌉⋅
         THENA (Auto THEN InstLemma `rv-partial-sum_wf` [⌈p⌉;⌈f⌉;⌈X⌉;⌈n⌉]⋅ THEN Auto)
         )
   THEN (Thin (-1))
   THEN (GenConcl ⌈rv-partial-sum(m - 1;i.X[i]) = B ∈ RandomVariable(p;f[m - 1])⌉⋅
         THENA (Auto THEN InstLemma `rv-partial-sum_wf` [⌈p⌉;⌈f⌉;⌈X⌉;⌈m - 1⌉]⋅ THEN Auto)
         )
   THEN (Thin (-1))
   THEN (Assert 0 ≤ X[m - 1] BY
               Auto)
   THEN (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌈X[m - 1] = C ∈ RandomVariable(p;f[m - 1])⌉⋅ THENA Auto)
   THEN (Thin (-1))) }

1
1. p : FinProbSpace
2. f : ℕ ─→ ℕ
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])
4. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
5. ∀n:ℕ. 0 ≤ X[n]
6. m : ℕ@i
7. ∀m1:ℕm. ∀n:ℕm1 + 1.  rv-partial-sum(n;i.X[i]) ≤ rv-partial-sum(m1;i.X[i])@i
8. n : ℕm + 1@i
9. ¬(n = m ∈ ℤ)
10. A : RandomVariable(p;f[n])@i
11. B : RandomVariable(p;f[m - 1])@i
12. C : RandomVariable(p;f[m - 1])@i
⊢ 0 ≤ C ⇒ A ≤ B ⇒ A ≤ B + C

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  0  \mleq{}  X[n]
6.  m  :  \mBbbN{}@i
7.  \mforall{}m1:\mBbbN{}m.  \mforall{}n:\mBbbN{}m1  +  1.    rv-partial-sum(n;i.X[i])  \mleq{}  rv-partial-sum(m1;i.X[i])@i
8.  n  :  \mBbbN{}m  +  1@i
9.  \mneg{}(n  =  m)
10.  rv-partial-sum(n;i.X[i])  \mleq{}  rv-partial-sum(m  -  1;i.X[i])
\mvdash{}  rv-partial-sum(n;i.X[i])  \mleq{}  rv-partial-sum(m  -  1;i.X[i])  +  X[m  -  1]


By

((MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}rv-partial-sum(n;i.X[i])  =  A\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  InstLemma  `rv-partial-sum\_wf`  [\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
              )
  THEN  (Thin  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}rv-partial-sum(m  -  1;i.X[i])  =  B\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  InstLemma  `rv-partial-sum\_wf`  [\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}m  -  1\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
              )
  THEN  (Thin  (-1))
  THEN  (Assert  0  \mleq{}  X[m  -  1]  BY
                          Auto)
  THEN  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}X[m  -  1]  =  C\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Thin  (-1)))

---

Home Index