---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma rv-partial-sum-monotone


1. p : FinProbSpace
2. f : ℕ ─→ ℕ
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])
4. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
5. ∀n:ℕ. 0 ≤ X[n]
6. m : ℕ@i
7. ∀m1:ℕm. ∀n:ℕm1 + 1.  rv-partial-sum(n;i.X[i]) ≤ rv-partial-sum(m1;i.X[i])@i
8. n : ℕm + 1@i
9. ¬(n = m ∈ ℤ)
10. A : RandomVariable(p;f[n])@i
11. B : RandomVariable(p;f[m - 1])@i
12. C : RandomVariable(p;f[m - 1])@i
⊢ 0 ≤ C ⇒ A ≤ B ⇒ A ≤ B + C
BY
{ (Assert f[n] ≤ f[m - 1] BY
         ((Decide n = (m - 1) ∈ ℤ THEN Auto)
          THEN Try ((HypSubst' -1 0 THEN Auto))
          THEN (Assert f[n] < f[m - 1] BY
                      Auto)
          THEN Auto')) }

1
1. p : FinProbSpace
2. f : ℕ ─→ ℕ
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])
4. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
5. ∀n:ℕ. 0 ≤ X[n]
6. m : ℕ@i
7. ∀m1:ℕm. ∀n:ℕm1 + 1.  rv-partial-sum(n;i.X[i]) ≤ rv-partial-sum(m1;i.X[i])@i
8. n : ℕm + 1@i
9. ¬(n = m ∈ ℤ)
10. A : RandomVariable(p;f[n])@i
11. B : RandomVariable(p;f[m - 1])@i
12. C : RandomVariable(p;f[m - 1])@i
13. f[n] ≤ f[m - 1]
⊢ 0 ≤ C ⇒ A ≤ B ⇒ A ≤ B + C

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  0  \mleq{}  X[n]
6.  m  :  \mBbbN{}@i
7.  \mforall{}m1:\mBbbN{}m.  \mforall{}n:\mBbbN{}m1  +  1.    rv-partial-sum(n;i.X[i])  \mleq{}  rv-partial-sum(m1;i.X[i])@i
8.  n  :  \mBbbN{}m  +  1@i
9.  \mneg{}(n  =  m)
10.  A  :  RandomVariable(p;f[n])@i
11.  B  :  RandomVariable(p;f[m  -  1])@i
12.  C  :  RandomVariable(p;f[m  -  1])@i
\mvdash{}  0  \mleq{}  C  {}\mRightarrow{}  A  \mleq{}  B  {}\mRightarrow{}  A  \mleq{}  B  +  C


By

(Assert  f[n]  \mleq{}  f[m  -  1]  BY
              ((Decide  n  =  (m  -  1)  THEN  Auto)
                THEN  Try  ((HypSubst'  -1  0  THEN  Auto))
                THEN  (Assert  f[n]  <  f[m  -  1]  BY
                                        Auto)
                THEN  Auto'))

---

Home Index