---

Step * 2 2 of Lemma slln-lemma1


1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. 0 ≤ s
10. ∃B:ℚ. ((k ≤ B) ∧ (s ≤ B))
⊢ ∃B:ℚ. ((0 ≤ B) ∧ (∀n:ℕ. (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o rv-partial-sum(n;i.X[i])) ≤ (B * n * n))))
BY
{ (ExRepD
   THEN Assert ⌈∀n:ℕ
                  ((E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o rv-partial-sum(n;i.X[i])) ≤ (((3 * s) + 1) * B * n * n))
                  ∧ (E(f[n];(x.x * x) o rv-partial-sum(n;i.X[i])) ≤ (B * n)))⌉⋅
   )⋅ }

1
.....assertion..... 
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. 0 ≤ s
10. B : ℚ
11. k ≤ B
12. s ≤ B
⊢ ∀n:ℕ
    ((E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o rv-partial-sum(n;i.X[i])) ≤ (((3 * s) + 1) * B * n * n))
    ∧ (E(f[n];(x.x * x) o rv-partial-sum(n;i.X[i])) ≤ (B * n)))

2
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. 0 ≤ s
10. B : ℚ
11. k ≤ B
12. s ≤ B
13. ∀n:ℕ
      ((E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o rv-partial-sum(n;i.X[i])) ≤ (((3 * s) + 1) * B * n * n))
      ∧ (E(f[n];(x.x * x) o rv-partial-sum(n;i.X[i])) ≤ (B * n)))
⊢ ∃B:ℚ. ((0 ≤ B) ∧ (∀n:ℕ. (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o rv-partial-sum(n;i.X[i])) ≤ (B * n * n))))

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace@i
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])@i
4.  s  :  \mBbbQ{}@i
5.  k  :  \mBbbQ{}@i
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          ((E(f[n];X[n])  =  0)
          \mwedge{}  (E(f[n];(x.x  *  x)  o  X[n])  =  s)
          \mwedge{}  (E(f[n];(x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  X[n])  =  k))
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9.  0  \mleq{}  s
10.  \mexists{}B:\mBbbQ{}.  ((k  \mleq{}  B)  \mwedge{}  (s  \mleq{}  B))
\mvdash{}  \mexists{}B:\mBbbQ{}.  ((0  \mleq{}  B)  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (E(f[n];(x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  rv-partial-sum(n;i.X[i]))  \mleq{}  (B  *  n  *  n))))


By

(ExRepD
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}n:\mBbbN{}
                                ((E(f[n];(x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  rv-partial-sum(n;i.X[i]))  \mleq{}  (((3  *  s)  +  1)
                                *  B
                                *  n
                                *  n))
                                \mwedge{}  (E(f[n];(x.x  *  x)  o  rv-partial-sum(n;i.X[i]))  \mleq{}  (B  *  n)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )\mcdot{}

---

Home Index