---

Step * 1 2 2 1 of Lemma slln-lemma3

.....assertion..... 
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. B : ℚ
10. ∀n:ℕ
      (E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )) ≤ B)
11. ∀n:ℕ
      (rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )
       ∈ RandomVariable(p;f[n]))
12. 0 ≤ B
13. B < B + 1
⊢ ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.
    rv-partial-sum(i;k.if (k =z 0)
    then 0
    else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
    fi ) ≤ rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )
BY
{ (Auto
   THEN InstLemma `rv-partial-sum-monotone` [⌈p⌉;⌈f⌉;⌈λ2k.if (k =z 0)
                                                      then 0
                                                      else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
                                                      fi ⌉;⌈n⌉;⌈i⌉]⋅
   THEN Auto
   THEN Using [`p',⌈p⌉;`f',⌈f⌉] Auto⋅) }

1
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. B : ℚ
10. ∀n:ℕ
      (E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )) ≤ B)
11. ∀n:ℕ
      (rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )
       ∈ RandomVariable(p;f[n]))
12. 0 ≤ B
13. B < B + 1
14. n : ℕ@i
15. i : ℕn@i
16. n1 : ℕ@i
⊢ 0 ≤ if (n1 =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/n1)*rv-partial-sum(n1;i.X[i]) fi 

---

Latex:


.....assertion..... 
1.  p  :  FinProbSpace@i
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])@i
4.  s  :  \mBbbQ{}@i
5.  k  :  \mBbbQ{}@i
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          ((E(f[n];X[n])  =  0)
          \mwedge{}  (E(f[n];(x.x  *  x)  o  X[n])  =  s)
          \mwedge{}  (E(f[n];(x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  X[n])  =  k))
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9.  B  :  \mBbbQ{}
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}
            (E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if  (k  =\msubz{}  0)
            then  0
            else  (x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
            fi  ))  \mleq{}  B)
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}
            (rv-partial-sum(n;k.if  (k  =\msubz{}  0)
              then  0
              else  (x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
              fi  )  \mmember{}  RandomVariable(p;f[n]))
12.  0  \mleq{}  B
13.  B  <  B  +  1
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.
        rv-partial-sum(i;k.if  (k  =\msubz{}  0)
        then  0
        else  (x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
        fi  )  \mleq{}  rv-partial-sum(n;k.if  (k  =\msubz{}  0)
        then  0
        else  (x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
        fi  )


By

(Auto
  THEN  InstLemma  `rv-partial-sum-monotone`  [\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}k.if  (k  =\msubz{}  0)
                                                                                                        then  0
                                                                                                        else  (x.(x  *  x)
                                                                                                                  *  x
                                                                                                                  *  x)  o  (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
                                                                                                        fi  \mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  Using  [`p',\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};`f',\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]  Auto\mcdot{})

---

Home Index