---

Step * 2 1 1 of Lemma setmem-sigmaset


1. T : Type
2. f : T ⟶ coSet{i:l}
3. B : {a:coSet{i:l}| (a ∈ mk-coset(T;f))}  ⟶ coSet{i:l}
4. ∀a1,a2:coSet{i:l}.  ((a1 ∈ mk-coset(T;f)) ⇒ (a2 ∈ mk-coset(T;f)) ⇒ seteq(a1;a2) ⇒ seteq(B[a1];B[a2]))
5. x : coSet{i:l}
6. a : coSet{i:l}
7. t : T
8. seteq(a;f t)
9. b : coSet{i:l}
10. (b ∈ B[a])
11. seteq(x;(a,b))
12. ∀t:T. (f t ∈ {a:coSet{i:l}| (a ∈ mk-coset(T;f))} )
13. seteq(B[a];B[f t])
⊢ ∃t:t:T × set-dom(B[f t]). seteq(x;let t,s = t in (f t,set-item(B[f t];s)))
BY
{ ((RWO "-1" (-4) THENA (Auto THEN (MemTypeCD THEN Auto) THEN SetMemDef 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "setmem-iff" (-4) THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. T : Type
2. f : T ⟶ coSet{i:l}
3. B : {a:coSet{i:l}| (a ∈ mk-coset(T;f))}  ⟶ coSet{i:l}
4. ∀a1,a2:coSet{i:l}.  ((a1 ∈ mk-coset(T;f)) ⇒ (a2 ∈ mk-coset(T;f)) ⇒ seteq(a1;a2) ⇒ seteq(B[a1];B[a2]))
5. x : coSet{i:l}
6. a : coSet{i:l}
7. t : T
8. seteq(a;f t)
9. b : coSet{i:l}
10. t1 : set-dom(B[f t])
11. seteq(b;set-item(B[f t];t1))
12. seteq(x;(a,b))
13. ∀t:T. (f t ∈ {a:coSet{i:l}| (a ∈ mk-coset(T;f))} )
14. seteq(B[a];B[f t])
⊢ ∃t:t:T × set-dom(B[f t]). seteq(x;let t,s = t in (f t,set-item(B[f t];s)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  coSet\{i:l\}
3.  B  :  \{a:coSet\{i:l\}|  (a  \mmember{}  mk-coset(T;f))\}    {}\mrightarrow{}  coSet\{i:l\}
4.  \mforall{}a1,a2:coSet\{i:l\}.
          ((a1  \mmember{}  mk-coset(T;f))  {}\mRightarrow{}  (a2  \mmember{}  mk-coset(T;f))  {}\mRightarrow{}  seteq(a1;a2)  {}\mRightarrow{}  seteq(B[a1];B[a2]))
5.  x  :  coSet\{i:l\}
6.  a  :  coSet\{i:l\}
7.  t  :  T
8.  seteq(a;f  t)
9.  b  :  coSet\{i:l\}
10.  (b  \mmember{}  B[a])
11.  seteq(x;(a,b))
12.  \mforall{}t:T.  (f  t  \mmember{}  \{a:coSet\{i:l\}|  (a  \mmember{}  mk-coset(T;f))\}  )
13.  seteq(B[a];B[f  t])
\mvdash{}  \mexists{}t:t:T  \mtimes{}  set-dom(B[f  t]).  seteq(x;let  t,s  =  t  in  (f  t,set-item(B[f  t];s)))


By

---

Latex:
((RWO  "-1"  (-4)  THENA  (Auto  THEN  (MemTypeCD  THEN  Auto)  THEN  SetMemDef  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "setmem-iff"  (-4)  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index