---

Step * 1 2 of Lemma Kan_sigma_filler_uniform


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-open-box(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10. K : Cname List
11. f : name-morph(I;K)
12. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
13. ↑isname(f x)
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. l_subset(Cname;map(f;J);K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
⊢ (Kan_sigma_filler(A;B) I alpha J x i bx alpha f)
= (Kan_sigma_filler(A;B) K f(alpha) map(f;J) (f x) i A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx))
∈ Σ Kan-type(A) Kan-type(B)(f(alpha))
BY
{ (RepUR ``Kan_sigma_filler let`` 0
   THEN (Subst' (<filler(x;i;sigma-box-fst(bx)), filler(x;i;sigma-box-snd(bx))> alpha f) 
         ~ <(filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
           , (filler(x;i;sigma-box-snd(bx)) (alpha;filler(x;i;sigma-box-fst(bx))) f)
           > 0
         THENA (RepUR ``cubical-type-ap-morph cubical-sigma`` 0 THEN Auto)
         )
   THEN (RWO "cubical-sigma-at" 0 THENA Auto)
   THEN (InstLemma `Kanfiller-uniform` [⌜X⌝;⌜A⌝;⌜I⌝;⌜alpha⌝;⌜J⌝;⌜x⌝;⌜i⌝;⌜sigma-box-fst(bx)⌝;⌜K⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ⌜filler(f x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
                 = filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
                 ∈ Kan-type(A)(f(alpha))⌝⋅
   THENM (EqCD THEN Auto)
   )) }

1
.....assertion..... 
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-open-box(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10. K : Cname List
11. f : name-morph(I;K)
12. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
13. ↑isname(f x)
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. l_subset(Cname;map(f;J);K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. (filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
⊢ filler(f x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-open-box(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10. K : Cname List
11. f : name-morph(I;K)
12. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
13. ↑isname(f x)
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. l_subset(Cname;map(f;J);K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. (filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
19. filler(f x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
⊢ (filler(x;i;sigma-box-snd(bx)) (alpha;filler(x;i;sigma-box-fst(bx))) f)
= filler(f x;i;sigma-box-snd(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
∈ Kan-type(B)((f(alpha);(filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
3.  B  :  \{X.Kan-type(A)  \mvdash{}  \_(Kan)\}
4.  I  :  Cname  List
5.  alpha  :  X(I)
6.  J  :  nameset(I)  List
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  bx  :  A-open-box(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10.  K  :  Cname  List
11.  f  :  name-morph(I;K)
12.  \mforall{}i:nameset(I).  ((i  \mmember{}  J)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  i)))
13.  \muparrow{}isname(f  x)
14.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
15.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
16.  l\_subset(Cname;map(f;J);K)
17.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
\mvdash{}  (Kan\_sigma\_filler(A;B)  I  alpha  J  x  i  bx  alpha  f)
=  (Kan\_sigma\_filler(A;B)  K  f(alpha)  map(f;J)  (f  x)  i 
      A-open-box-image(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx))


By

---

Latex:
(RepUR  ``Kan\_sigma\_filler  let``  0
  THEN  (Subst'  (<filler(x;i;sigma-box-fst(bx)),  filler(x;i;sigma-box-snd(bx))>  alpha  f) 
              \msim{}  <(filler(x;i;sigma-box-fst(bx))  alpha  f)
                  ,  (filler(x;i;sigma-box-snd(bx))  (alpha;filler(x;i;sigma-box-fst(bx)))  f)
                  >  0
              THENA  (RepUR  ``cubical-type-ap-morph  cubical-sigma``  0  THEN  Auto)
              )
  THEN  (RWO  "cubical-sigma-at"  0  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `Kanfiller-uniform`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}alpha\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}sigma-box-fst(bx)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  (Assert 
              \mkleeneopen{}filler(f  x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
                =  filler(f  x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (EqCD  THEN  Auto)
  ))

---

Home Index