---

Step * 1 2 2 of Lemma Kan_sigma_filler_uniform

.....subterm..... T:t
2:n
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-open-box(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10. K : Cname List
11. f : name-morph(I;K)
12. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
13. ↑isname(f x)
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. l_subset(Cname;map(f;J);K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. (filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
19. filler(f x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
⊢ (filler(x;i;sigma-box-snd(bx)) (alpha;filler(x;i;sigma-box-fst(bx))) f)
= filler(f x;i;sigma-box-snd(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
∈ Kan-type(B)((f(alpha);(filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)))
BY
{ (((Assert filler(f x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
           = (filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
           ∈ Kan-type(A)(f(alpha)) BY
           Eq)
    THEN MoveToConcl (-1)
    )
   THEN (GenConclTerm ⌜filler(f x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))⌝⋅
         THENA Auto
         )
   THEN (Thin (-1) THEN D -1 THEN RenameVar `cubeA' (-2))
   THEN (GenConclTerm ⌜filler(x;i;sigma-box-fst(bx))⌝⋅ THENA (Auto THEN DVar `bx' THEN Unhide THEN Auto))
   THEN RenameVar `cubeA1' (-2)⋅
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-open-box(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10. K : Cname List
11. f : name-morph(I;K)
12. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
13. ↑isname(f x)
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. l_subset(Cname;map(f;J);K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. (filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
19. filler(f x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
20. cubeA : Kan-type(A)(f(alpha))
21. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);K;f(alpha);sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) ...;I;K;f;alpha;bx));cubeA)
22. cubeA1 : {cube:Kan-type(A)(alpha)| fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;sigma-box-fst(bx);cube)} 
23. filler(x;i;sigma-box-fst(bx))
= cubeA1
∈ {cube:Kan-type(A)(alpha)| fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;sigma-box-fst(bx);cube)} 
24. cubeA = (cubeA1 alpha f) ∈ Kan-type(A)(f(alpha))
⊢ (filler(x;i;sigma-box-snd(bx)) (alpha;cubeA1) f)
= filler(f x;i;sigma-box-snd(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
∈ Kan-type(B)((f(alpha);(cubeA1 alpha f)))

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
2:n
1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
3.  B  :  \{X.Kan-type(A)  \mvdash{}  \_(Kan)\}
4.  I  :  Cname  List
5.  alpha  :  X(I)
6.  J  :  nameset(I)  List
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  bx  :  A-open-box(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10.  K  :  Cname  List
11.  f  :  name-morph(I;K)
12.  \mforall{}i:nameset(I).  ((i  \mmember{}  J)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  i)))
13.  \muparrow{}isname(f  x)
14.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
15.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
16.  l\_subset(Cname;map(f;J);K)
17.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
18.  (filler(x;i;sigma-box-fst(bx))  alpha  f)
=  filler(f  x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
19.  filler(f  x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
=  filler(f  x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
\mvdash{}  (filler(x;i;sigma-box-snd(bx))  (alpha;filler(x;i;sigma-box-fst(bx)))  f)
=  filler(f  x;i;sigma-box-snd(A-open-box-image(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))


By

---

Latex:
(((Assert  filler(f  x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
                  =  (filler(x;i;sigma-box-fst(bx))  alpha  f)  BY
                  Eq)
    THEN  MoveToConcl  (-1)
    )
  THEN  (GenConclTerm 
              \mkleeneopen{}filler(f  x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  (Thin  (-1)  THEN  D  -1  THEN  RenameVar  `cubeA'  (-2))
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}filler(x;i;sigma-box-fst(bx))\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  DVar  `bx'  THEN  Unhide  THEN  Auto)
              )
  THEN  RenameVar  `cubeA1'  (-2)\mcdot{}
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index