---

Step * 1 2 2 1 of Lemma Kan_sigma_filler_uniform


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-open-box(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10. K : Cname List
11. f : name-morph(I;K)
12. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
13. ↑isname(f x)
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. l_subset(Cname;map(f;J);K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. (filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
19. filler(f x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
20. cubeA : Kan-type(A)(f(alpha))
21. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);K;f(alpha);sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) ...;I;K;f;alpha;bx));cubeA)
22. cubeA1 : {cube:Kan-type(A)(alpha)| fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;sigma-box-fst(bx);cube)} 
23. filler(x;i;sigma-box-fst(bx))
= cubeA1
∈ {cube:Kan-type(A)(alpha)| fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;sigma-box-fst(bx);cube)} 
24. cubeA = (cubeA1 alpha f) ∈ Kan-type(A)(f(alpha))
⊢ (filler(x;i;sigma-box-snd(bx)) (alpha;cubeA1) f)
= filler(f x;i;sigma-box-snd(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
∈ Kan-type(B)((f(alpha);(cubeA1 alpha f)))
BY
{ (D -3
   THEN (InstLemma `Kanfiller-uniform` [⌜X.Kan-type(A)⌝;⌜B⌝;⌜I⌝;⌜(alpha;cubeA1)⌝;⌜J⌝;⌜x⌝;⌜i⌝;⌜sigma-box-snd(bx)⌝;⌜K⌝;⌜f⌝
         ]⋅
         THENA Auto
         )
   THEN NthHypEq (-1) 
   THEN EqCD
   THEN Auto) }

1
.....subterm..... T:t
3:n
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-open-box(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10. K : Cname List
11. f : name-morph(I;K)
12. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
13. ↑isname(f x)
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. l_subset(Cname;map(f;J);K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. (filler(x;i;sigma-box-fst(bx)) alpha f)
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
19. filler(f x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
= filler(f x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
∈ Kan-type(A)(f(alpha))
20. cubeA : Kan-type(A)(f(alpha))
21. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);K;f(alpha);sigma-box-fst(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) ...;I;K;f;alpha;bx));cubeA)
22. cubeA1 : Kan-type(A)(alpha)
23. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;sigma-box-fst(bx);cubeA1)
24. filler(x;i;sigma-box-fst(bx))
= cubeA1
∈ {cube:Kan-type(A)(alpha)| fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;sigma-box-fst(bx);cube)} 
25. cubeA = (cubeA1 alpha f) ∈ Kan-type(A)(f(alpha))
26. (filler(x;i;sigma-box-snd(bx)) (alpha;cubeA1) f)
= filler(f x;i;A-open-box-image(X.Kan-type(A);Kan-type(B);I;K;f;(alpha;cubeA1);sigma-box-snd(bx)))
∈ Kan-type(B)(f((alpha;cubeA1)))
⊢ filler(f x;i;sigma-box-snd(A-open-box-image(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
= filler(f x;i;A-open-box-image(X.Kan-type(A);Kan-type(B);I;K;f;(alpha;cubeA1);sigma-box-snd(bx)))
∈ Kan-type(B)((f(alpha);(cubeA1 alpha f)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
3.  B  :  \{X.Kan-type(A)  \mvdash{}  \_(Kan)\}
4.  I  :  Cname  List
5.  alpha  :  X(I)
6.  J  :  nameset(I)  List
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  bx  :  A-open-box(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;J;x;i)
10.  K  :  Cname  List
11.  f  :  name-morph(I;K)
12.  \mforall{}i:nameset(I).  ((i  \mmember{}  J)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  i)))
13.  \muparrow{}isname(f  x)
14.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
15.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
16.  l\_subset(Cname;map(f;J);K)
17.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
18.  (filler(x;i;sigma-box-fst(bx))  alpha  f)
=  filler(f  x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
19.  filler(f  x;i;sigma-box-fst(A-open-box-image(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))
=  filler(f  x;i;A-open-box-image(X;Kan-type(A);I;K;f;alpha;sigma-box-fst(bx)))
20.  cubeA  :  Kan-type(A)(f(alpha))
21.  fills-A-open-box(X;Kan-type(A);K;f(alpha);sigma-box-fst(...);cubeA)
22.  cubeA1  :  \{cube:Kan-type(A)(alpha)| 
                            fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;sigma-box-fst(bx);cube)\} 
23.  filler(x;i;sigma-box-fst(bx))  =  cubeA1
24.  cubeA  =  (cubeA1  alpha  f)
\mvdash{}  (filler(x;i;sigma-box-snd(bx))  (alpha;cubeA1)  f)
=  filler(f  x;i;sigma-box-snd(A-open-box-image(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;K;f;alpha;bx)))


By

---

Latex:
(D  -3
  THEN  (InstLemma  `Kanfiller-uniform`  [\mkleeneopen{}X.Kan-type(A)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(alpha;cubeA1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}J\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};
              \mkleeneopen{}sigma-box-snd(bx)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  NthHypEq  (-1) 
  THEN  EqCD
  THEN  Auto)

---

Home Index